Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = c, AC = b. Vẽ đường tròn tâm O1 đường kính AB và đường

Câu hỏi số 680380:

Vận dụng cao

Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = c, AC = b. Vẽ đường tròn tâm O₁ đường kính AB và đường tròn tâm O₂ đường kính AC. Gọi H là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O₁) và (O₂). Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt các đường tròn (O₁) và (O₂) lần lượt tại các điểm D, E không trùng với A sao cho A nằm giữa D,E.

a) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng (d) thay đổi.

b) Xác định vị trí của đường thẳng (d) để diện tích tứ giác BDEC đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó theo b,c.

c) Kẻ đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn DE và vuông góc với BC tại K. Chứng minh rằng

\(K{B^2} = B{D^2} + K{H^2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680380

Giải chi tiết

a) Gọi M là trung điểm \(BC \Rightarrow M{O_1} = \dfrac{1}{2}AC;M{O_2} = \dfrac{1}{2}AB.\)

Do D thuộc đường tròn đường kính AB nên tam giác ADB vuông tại D.

\( \Rightarrow D{O_1} = \dfrac{1}{2}AB = M{O_2}.\)Tương tự thì \(E{O_2} = M{O_1}\)

Có tam giác ABC vuông tại A (giả thiết). \(\angle {ADB} + \angle {EAC} = {90^o}\)

Mà tam giác DAB vuông tại D nên \(\angle {ADB} + \angle {DBA} = {90^o}\)

\(\angle {EAC} = \angle {ABD} \Rightarrow 2\angle {EAC} = 2\angle {ABD} \Rightarrow \angle {D{O_1}A} = \angle {E{O_2}C} \Rightarrow \angle {D{O_1}B} = \angle {E{O_2}A}\)

Dễ thấy \(M{O_1}//AC,M{O_2}//AB \Rightarrow \angle {M{O_1}B} = \angle {M{O_2}A} = {90^o} \Rightarrow \angle {M{O_1}D} = \angle {M{O_2}E}\)

Xét \(\Delta M{O_1}D\) và \(\Delta E{O_2}M\) có:

\(M{O_1} = E{O_2}\) (cmt)

\(\angle {D{O_1}M} = \angle {M{O_2}E}\) (cmt)

\(D{O_1} = M{O_2}\)(cmt)

\( \Rightarrow \Delta M{O_1}D = \)\(\Delta E{O_2}M\) (c.g.c)

\( \Rightarrow MD = ME\) (2 cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow M\) thuộc trung trực DE. Do đó trung trực DE luôn đi qua M cố định (đpcm).

b) Có \(2{S_{BDEC}} = 2{S_{BDA}} + 2{S_{BAC}} + 2{S_{AEC}} = DB.DA + AB.AC + EA.EC \le \dfrac{1}{2}\left( {B{D^2} + D{A^2}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {E{A^2} + E{C^2}} \right) + bc\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) + bc = \dfrac{1}{2}\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + bc = \dfrac{1}{2}{\left( {b + c} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {S_{BDEC}} \le \dfrac{1}{4}{\left( {b + c} \right)^2} \Rightarrow Max = \dfrac{1}{4}{\left( {b + c} \right)^2}\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow DA = DB,EA = EC. \Leftrightarrow \) d tạo với AB một góc 45°.

c) Ta có điều phải chứng minh:

\(K{B^2} = B{D^2} + K{H^2} \Leftrightarrow I{B^2} - K{I^2} = I{B^2} - I{D^2} + I{H^2} - I{K^2} \Leftrightarrow I{H^2} = I{D^2} \Rightarrow IH = ID = IE\)

Do đó tam giác DHE vuông tại H.

Thật vậy, có \(\angle {DHB} + \angle {EHC} = \angle {DAB} + \angle {EAC} = {90^o} \Rightarrow \angle {DHE} = {90^o}\)

Do đó tam giác DHE vuông tại H, tức KB² = BD² + KH² (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link