Cho \(a,b\) là 2 số thực dương.a) Chứng minh rằng \(\sqrt {\left( {1 + a} \right)(1 + b)} \ge 1 +

Câu hỏi số 680529:

Vận dụng cao

Cho \(a,b\) là 2 số thực dương.
a) Chứng minh rằng \(\sqrt {\left( {1 + a} \right)(1 + b)} \ge 1 + \sqrt {ab} \).
b) Cho \(a + b = ab\) thỏa mãn \({a^2} + 3a - b \ge 0\) và \({b^2} + 3b - a \ge 0\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = \dfrac{1}{{{a^2} + 3a - b}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 3b - a}} + \sqrt {\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680529

Phương pháp giải

a) Chứng minh tương đương.

b) Áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng \(\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)} \ge 1 + \sqrt {ab} \).

Ta có: \(\sqrt {\left( {1 + a} \right)\left( {1 + b} \right)} \ge 1 + \sqrt {ab} \Leftrightarrow 1 + a + b + ab \ge 1 + ab + 2\sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\). Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).

b) Cho \(a + b = ab\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = \dfrac{1}{{{a^2} + 3a - b}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 3b - a}} + \sqrt {\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} \).

Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{{x + y}}\), ta có:

\(\dfrac{1}{{{a^2} + 3a - b}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 3b - a}} \ge \dfrac{4}{{\left( {{a^2} + 3a - b} \right) + \left( {{b^2} + 3b - a} \right)}} = \dfrac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2\left( {a + b} \right)}}\)

\(\dfrac{1}{{{a^2} + 3a - b}} + \dfrac{1}{{{b^2} + 3b - a}} \ge \dfrac{4}{{{a^2} + {b^2} + 2ab}} = \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\) (vì \(a + b = ab\))

Mặt khác \(\sqrt {\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)} \ge 1 + ab = 1 + \left( {a + b} \right)\) (theo câu a)

Suy ra \(P \ge \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + 1 + \left( {a + b} \right) = \dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \dfrac{{a + b}}{{16}} + \dfrac{{a + b}}{{16}} + \dfrac{{7\left( {a + b} \right)}}{8} + 1\)

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô – sy cho 3 số dạng \(x + y + z \ge 3\sqrt {xyz} \), ta có:

\(\dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \dfrac{{a + b}}{{16}} + \dfrac{{a + b}}{{16}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \cdot \dfrac{{a + b}}{{16}} \cdot \dfrac{{a + b}}{{16}}}} = \dfrac{3}{4}\)(1)

+) Ta có: \(a + b = ab \le \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} - 4\left( {a + b} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a + b - 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 4\) (vì \(a,\;b > 0\) nên \(a + b > 0\))

\( \Rightarrow \dfrac{{7\left( {a + b} \right)}}{8} \ge \dfrac{7}{2}\)(2)

Từ (1), (2) suy ra \(P \ge \dfrac{3}{4} + \dfrac{7}{2} + 1 = \dfrac{{21}}{4}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = 2\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P = \dfrac{{21}}{4}\) khi \(a = b = 2\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link