Cho tam giác \(ABC\) có 3 góc nhọn \((AB < AC)\). Vẽ đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác đó. Gọi

Câu hỏi số 680528:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) có 3 góc nhọn \((AB < AC)\). Vẽ đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác đó. Gọi \(H\) là giao điểm của các đường cao vừa vẽ. Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AH\) và \(BC\).
a) Chứng minh rằng \(\Delta MFN\) là tam giác vuông.
b) Chứng minh \(\Delta FMN\) ~ \(\Delta FAC\)
c) Gọi \(P,Q\) lần lượt là chân các đường vuông góc từ \(M,N\) đến đường thẳng \(DF\). Chứng minh rằng giao điểm của \(FE\) và \(MN\) thuộc đường tròn đường kính \(PQ\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680528

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Ta có các tam giác \(FHA\) và tam giác \(FBC\) là các tam giác vuông nên có

\(FM = MA = \dfrac{{AH}}{2}\) và \(FN = NB = \dfrac{{BC}}{2}\) ( tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ) \( \Rightarrow \angle {MFA} = \angle {BAD}\) và \(\angle {NFB} = \angle {DBA}\)

\( \Rightarrow \angle {MFA} + \angle {NFB} = \angle {BAD} + \angle {DBA} = 90^\circ \) ( vì tam giác \(BAD\) vuông tại \(D\))

\( \Rightarrow \angle {MFN} = 180^\circ - \angle {MFA} - \angle {NFB} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)\( \Rightarrow \;\)\(\Delta MFN\) là tam giác vuông

b) +) Xét \(\Delta BFC\) và \(\Delta HFA\) có:

\(\angle {AFH} = \angle {BFC} = 90^\circ \)

\(\angle {FAH} = \angle {FCB}\) (cùng phụ \(\angle {ABC}\))

\( \Rightarrow \Delta BFC\) ~ \(\Delta HFA\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AF}} = \dfrac{{BC}}{{FC}} \Rightarrow \dfrac{{2AM}}{{AF}} = \dfrac{{2CN}}{{FC}} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AF}} = \dfrac{{CN}}{{FC}}\).

+) Xét \(\Delta AMF\) và \(\Delta CNF\) có:

\(\dfrac{{AM}}{{AF}} = \dfrac{{CN}}{{FC}}\) (chứng minh trên)

\(\angle {FAH} = \angle {FCB}\) (cùng phụ \(\angle {ABC}\))

\( \Rightarrow \Delta AMF\) ~ \(\Delta CNF\;\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \dfrac{{FM}}{{AF}} = \dfrac{{FN}}{{FC}}\)

+) Xét \(\Delta FMN\) và \(\Delta FAC\) có:

\(\dfrac{{FM}}{{AF}} = \dfrac{{FN}}{{FC}}\) (chứng minh trên)

\(\angle {AFC} = \angle {MFN}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

\( \Rightarrow \Delta FMN\) ~ \(\Delta FAC\left( {c.g.c} \right)\).

Cách khác: Ta có: \(MF = ME\;\left( { = \dfrac{1}{2}AH} \right)\) và \(NF = NE\;\left( { = \dfrac{1}{2}BC} \right)\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung trực của \(FE\)

mà \(\Delta NFE\) cân tại \(N\) \(\left( {NF = NE} \right)\)

\( \Rightarrow MN\) đồng thời là đường phân giác của \(\Delta NFE\)

\( \Rightarrow \angle {FNM} = \dfrac{1}{2}\angle {FNE}\)(3)

+) Ta có: tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn tâm \(N\) (chứng minh câu a)

\( \Rightarrow \angle {FCE} = \dfrac{1}{2}\angle {FNE}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung \(FE\))(4)

Từ (3), (4) suy ra \(\angle {FNM} = \angle {FCA}\;\left( { = \dfrac{1}{2}\angle {FNE}} \right)\).\( \Rightarrow \Delta FMN\) ~ \(\,\Delta FAC\left( {c.g.c} \right)\)

c) Gọi \(G\) là giao điểm của \(MN\) và \(FE\) \( \Rightarrow MN \bot FE\) tại \(G\)( do \(NF = NE = \dfrac{{BC}}{2}\) và \(MF = ME = \dfrac{{AH}}{2}\) nên \(MN\) là đường trung trực của \(EF\))

+) Ta có: Tứ giác \(MPFG\) nội tiếp \(\left( {\angle {MPF} + \angle {MGF} = 180^\circ } \right)\)

\( \Rightarrow \angle {GPF} = \angle {GMF}\).

+) Ta có: Tứ giác \(GFQN\) nội tiếp \(\left( {\angle {FGN} + \angle {FQN} = 180^\circ } \right)\)

\( \Rightarrow \angle {GQF} = \angle {GNF}\)

Cộng lại ta được \(\angle {GPF} + \angle {GQF} = \angle {GMF} + \angle {GNF} = 90^\circ \) (vì tam giác \(MFN\) vuông ở \(F\))

\( \Rightarrow \angle {PGQ} = 90^\circ \). Vậy giao điểm của \(FE\) và \(MN\) thuộc đường tròn đường kính \(PQ\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link