1) Tìm tất cả cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) sao cho \(xy\) là số chính phương và \({x^2} + xy

Câu hỏi số 680672:

Vận dụng cao

1) Tìm tất cả cặp số nguyên \(\left( {x,y} \right)\) sao cho \(xy\) là số chính phương và \({x^2} + xy + {y^2}\) là số nguyên tố.

2) Với các số thực không âm \(a,b\) và \(c\) thỏa mãn \(a + 2b + 3c = 1\), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {a + 6b + 6c} \right)\left( {a + b + c} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680672

Phương pháp giải

1) Đặt \(xy = {z^2}\), chú ý là \(xy = {z^2} \ge 0\) nên \(x,y\) ở cùng phía với 0.

2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Giải chi tiết

1) Đặt \(xy = {z^2}\) với \(z \in \mathbb{N}\) thì \({x^2} + xy + {y^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} = {(x + y)^2} - {z^2} = \left( {x + y - z} \right)\left( {x + y + z} \right)\).

Chú ý là \(xy = {z^2} \ge 0\) nên \(x,y\) ở cùng phía với 0.

Và nếu cặp \(\left( {x,y} \right)\) thoả mãn thì cặp \(\left( { - x, - y} \right)\) cũng thoả mãn, do đó ta chỉ cần xét \(x,y \ge 0\).

Khi đó \(x + y + z \ge x + y - z\) và do \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) là số nguyên tố nên ta phải có \(x + y - z = 1,{x^2} + {y^2} + {z^2} = x + y + z\).

Do \(x,y,z \in \mathbb{N}\) nên \({x^2} \ge x,{y^2} \ge y,{z^2} \ge z\) nên để có đẳng thức \({x^2} + {y^2} + {z^2} = x + y + z\) thì \({x^2} = x,{y^2} = y,{z^2} = z\).

Suy ra \(x,y \in \left\{ {0,1} \right\}\). Thử trực tiếp thì chỉ có \(x = y = 1\) là thoả mãn bài toán.
Vậy, có hai cặp \(\left( {x,y} \right)\) là \(\left( {1,1} \right),\left( { - 1, - 1} \right)\).

2) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\dfrac{3}{2}P \ge \left( {\dfrac{1}{2}a + 3b + 3c} \right)\left( {3a + 3b + 3c} \right) \ge {\left( {\sqrt {\dfrac{3}{2}} a + 3b + 3c} \right)^2} \ge {(a + 2b + 3c)^2} = 1.\)

Suy ra \(P \ge \dfrac{2}{3}\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 0,c = \dfrac{1}{3}\).

Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\dfrac{2}{3}\).

Lại có, theo bất đẳng thức AM-GM thì

\(4P = \left( {a + 6b + 6c} \right)\left( {4a + 4b + 4c} \right) \le \dfrac{{{{(a + 6b + 6c + 4a + 4b + 4c)}^2}}}{4} \le \dfrac{{25{{(a + 2b + 3c)}^2}}}{4} = \dfrac{{25}}{4},\)

kéo theo \(P \le \dfrac{{25}}{{16}}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a + 6b + 6c = 4\left( {a + b + c} \right),c = 0,a + 2b + 3c = 1\).

Giải ta tìm được \(a = \dfrac{1}{4},b = \dfrac{3}{8},c = 0\).

Giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\dfrac{{25}}{{16}}\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link