1) Cho ba số nguyên \(a,b\) và \(c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2abc\) chia hết cho 6 . Chứng minh

Câu hỏi số 680671:

Vận dụng cao

1) Cho ba số nguyên \(a,b\) và \(c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2abc\) chia hết cho 6 . Chứng minh \(abc\) chia hết cho 54 .

2) Tìm tất cả cặp số nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) thỏa mãn \({x^3}y - {x^2}y - 4{x^2} + 5xy - {y^2} = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680671

Phương pháp giải

1) Chứng minh \(a,b,c\) đều chia hết cho 3.

2) Phương trình đã cho được viết lại thành \({y^2} - \left( {{x^3} - {x^2} + 5x} \right)y + 4{x^2} = 0.\) Từ đó tính \(\Delta \).

Giải chi tiết

1) Nếu cả ba số \(a,b,c\) đều lẻ thì \({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2abc\) sẽ lẻ và do đó \({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2abc\) không chia hết cho 6 , trái giả thiết.

Do đó, trong ba số \(a,b,c\) phải có ít nhất một số chẵn, nghĩa là \(abc\) chia hết cho 2 .
Nếu \(abc\) không chia hết cho 3 tức là trong 3 số \(a,b,c\) không có số nào chia hết cho 3 , dẫn tới \({a^2} \equiv {b^2} \equiv {c^2} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right)\).

Vì \({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2abc\) chia hết cho 3 nên \( - 2abc\) cũng chia hết cho 3 , vô lí vì \(a,b,c\) dều không chia hết cho 3 .

Do đó, ta phải có \(abc\) chia hết cho 3.

Từ đây ta có ngay \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) chia hết cho 3.

Vì số chính phương khi chia 3 thì dư chỉ có thể là 0,1 cả 3 số \({a^2},{b^2},{c^2}\) phải chia hết cho 3 kéo theo \(a,b,c\) đều chia hết cho 3.

Khi đó \(abc\) chia hết cho 27.
Vì \(\left( {27,2} \right) = 1\) nên \(abc\) chia hết cho \(27 \cdot 2 = 54\). Phép chứng minh hoàn tất.

2) Phương trình đã cho được viết lại thành \({y^2} - \left( {{x^3} - {x^2} + 5x} \right)y + 4{x^2} = 0.\)

Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn \(y\), tính biệt thức

\({\rm{\Delta }} = {\left( {{x^3} - {x^2} + 5x} \right)^2} - 16{x^2} = {x^2}\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 9} \right).\)

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm \(y\) nguyên là \({\rm{\Delta }}\) là số chính phương.

Suy ra \(\left( {{x^2} - x + } \right.\) 1) \(\left( {{x^2} - x + 9} \right)\) là số chính phương (do \(x\) nguyên dương nên \(\left. {{x^2} > 0} \right)\).

Vì \({x^2} - x + 1 = x\left( {x - 1} \right) + 1\) là số lẻ và nếu gọi \(d = {\rm{gcd}}\left( {{x^2} - x + 1,{x^2} - x + 9} \right)\) thì \(d\) lẻ và \(d\mid \left( {{x^2} - x + 9} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 8\) nên ta phải có \(d = 1\).

Suy ra \({x^2} - x + 1,{x^2} - x + 9\) dều là các số chính phương.

Mà \({(x - 1)^2} < {x^2} - x + 1 < {(x + 1)^2}\) nên \({x^2} - x + 1 = {x^2}\) và tìm được \(x = 1\).

Thay \(x = 1\) tìm được \(y = 1,y = 4\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương \(\left( {x,y} \right)\) là \(\left( {1,1} \right)\) và \(\left( {1,4} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link