Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \((AB < AC)\), nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Ba

Câu hỏi số 680673:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \((AB < AC)\), nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Ba đường cao \(AD,BE\) và \(CF\) của tam giác \(ABC\) cùng đi qua điểm \(H\). Đường thẳng \(EF\) cắt đường thẳng \(AD\) tại điểm \(Q\). Gọi \(M\) và \(I\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(BC\) và \(AH\). Đường thẳng \(IM\) cắt đường thẳng \(EF\) tại điểm \(K\).

1) Chứng minh tam giác \(AEK\) đồng dạng với tam giác \(ABM\).

2) Đường thẳng \(EF\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(S\), đường thẳng \(SI\) cắt đường thẳng \(MQ\) tại điểm \(T\). Chứng minh bốn điểm \(A,T,H\) và \(M\) cùng thuộc một đường tròn.

3) Tia \(TH\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(P\). Chưng minh ba điểm \(A,K\) và \(P\) là ba điểm thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680673

Phương pháp giải

Giải chi tiết

1) Xét các tam giác \(BFC\) và \(BEC\) lần lượt vuông tại \(F\) và \(E\) với các trung tuyến tương ứng là \(FM\) và \(EM\), khi đó ta được \(FM = EM = \dfrac{1}{2}BC\).

Tương tự, xét các tam giác \(AFH\) và \(AEH\) lần lượt vuông tại \(F\) và \(E\) với các trung tuyến tương ứng là \(FI\) và \(EI\), khi đó ta cũng được \(FI = EI = \dfrac{1}{2}AH\).

Như vậy, \(MI\) là đường trung trực của \(EF\), vì thế \(K\) là trung điểm của \(EF\).

Mặt khác, lại chú ý rằng \(\Delta AEB\) ~ \(\Delta AFC\) (g.g) nên ta được \(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AF}}{{AC}}\), kéo theo \(\Delta AEF\) ~ \(\Delta ABC\) (c.g.c).

Từ đó ta thu được \(\angle {AEF} = \angle {ABC}\) và \(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{2EK}}{{2BM}} = \dfrac{{EK}}{{BM}}\).

Do đó, \(\Delta AEK\) ~ \(\Delta ABM\) (c.g.c)

2) Xét \(\Delta ISM\) với \(ID \bot SM\) và \(SK \bot IM\) (vì \(MI\) là trung trực của \(EF\) ), vì thế \(Q\) là trực tâm của \(\Delta ISM\). Như vậy, \(MQ \equiv MT \bot SI\) và từ đó ta được \(\angle {ITM} = {90^ \circ } = \angle {IEM} = \angle {IFM}\).

Do đó, năm điểm \(I,T,E,F,M\) cùng thuộc một đường tròn và dẫn đến \(QT \cdot QM = QE \cdot QF\)

Mặt khác, lại chú ý rằng tứ giác \(AEHF\) là tứ giác nội tiếp, ta cũng có \(QE \cdot QF = QA \cdot QH\)

Như vậy, \(QT \cdot QM = QA \cdot QH\), vì vậy bốn điểm \(A,T,H,M\) cùng thuộc một đường tròn.
3) Trên tia \(TH\) lấy một điểm \(P'\) sao cho \(HT \cdot HP' = HA \cdot HD\).

Khi đó, ta cũng được \(HT \cdot HP' = \) \(HB \cdot HE = HC \cdot HF\) và do đó các tứ giác \(TBP'E\) và \(TCP'F\) là các tứ giác nội tiếp.

Khi đó, ta có \(\angle {BP'T} = \angle {BET} = \angle {HET}\) và \(\angle {CP'T} = \angle {CFT} = \angle {HFT}\).

Từ đó, chú ý rằng tứ giác \(TIEF\) nội tiếp nên \(\angle {ETF} = \angle {EIF} = 2\angle {BAC}\), ta thu được

\(\angle {BP'C}\)\(\; = \angle {BP'T} + \angle {CP'T} = \angle {HET} + \angle {HFT} = {360^ \circ } - \angle {EHF} - \angle {ETF}\)

\(\; = {360^ \circ } - \left( {{{180}^ \circ } - \angle {BAC}} \right) - 2\angle {BAC} = {180^ \circ } - \angle {BAC}.\)

Do đó \(P' \in \left( O \right)\) và kéo theo \(P' \equiv P\).

Như vậy, \(HA \cdot HD = HT \cdot HP\) nên tứ giác \(ATDP\) nội tiếp và \(\angle {DAP} = \angle {DTH}\).

Mặt khác, ta có các kết quả quen thuộc \(\angle {BAO} = \angle {CAH}\) và \(AO \bot EF\), kết hợp với \(\Delta AEK\) ~ \(\Delta ABM\), ta thu được \(\angle {OAM} = \angle {BAO} - \angle {BAM} = \angle {CAH} - \angle {EAK} = \angle {DAK}\) và \(IM\parallel AO\left( { \bot EF} \right)\).

Lại chú ý rằng các tứ giác \(ATHM\) và \(ITDM\) là các tứ giác nội tiếp, ta được

\(\angle {DTH} = \angle {AHT} - \angle {IDT} = \angle {AMT} - \angle {IMT} = \angle {AMI} = \angle {OAM} = \angle {DAK}.\)

Do đó, \(\angle {DAP} = \angle {DAK}\), từ đó suy ra \(A,P,K\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link