Cho hình thang \(ABCD\), vuông tại \(A\) và \(D,AD = CD = \dfrac{1}{2}AB\). Gọi \({O_1},{O_2}\) lần lượt

Câu hỏi số 680751:

Vận dụng cao

Cho hình thang \(ABCD\), vuông tại \(A\) và \(D,AD = CD = \dfrac{1}{2}AB\). Gọi \({O_1},{O_2}\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) và \(E,F\) là trung điểm các đoạn \(A{O_1}\) và \(D{O_2}\). Trên đoạn thẳng \(EF\) lấy các điểm \(M,N\) sao cho \(\angle {AMB} = \angle {CND} = {90^ \circ }\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABCM\) nội tiếp.
b) Gọi \(S\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Chứng minh các đường thẳng \(BC,EF\) và \({{\rm{O}}_1}{{\rm{O}}_2}\) đồng quy tại \({\rm{S}}\).
c) Chứng minh bốn điểm \(A,D,M,N\) cùng thuộc một đường tròn.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:680751

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Ta có \(\angle {AMB} = {90^ \circ }\) nên \(M\) thuộc đường tròn đường kính \(AB\)

Dễ thấy tứ giác \(ABCD\) là hình thang vuông và \(CD = DA = \dfrac{1}{2}AB\) nên \(ADC{O_1}\) là hình vuông và \(BCD{O_1}\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow AC \bot D{O_1}\) và \(D{O_1}\parallel BC\) nên \(AC \bot BC\)
Vậy \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(AB\)
Từ (1) và (2) suy ra hai điểm \(M,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AB\).

Do đó tứ giác \(ABCM\) nội tiếp.

b) Theo giả thiết ta có \(BC\) đi qua \(S\) \(\left( 1 \right)\)

Ta có \(D \in SA,C \in SB\) và \(DC\parallel AB;DC = \dfrac{1}{2}AB\) nên \(DC\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\).

Suy ra \(D,C\) lần lượt là trung điểm \(SA,SB\)

Xét \(\Delta SBE\) ta có \(C\) là trung điểm \(SB\) và \(CF\parallel BE\)
\( \Rightarrow C{O_2}\) là đường trung bình của \(\Delta SB{O_1}\)
\( \Rightarrow {O_2}\) là trung điểm của \(S{O_1}\).
Vậy \({O_1}{O_2}\) đi qua \(S\)
Xét \(\Delta SB{O_1}\) ta có \(C\) là trung điểm \(SB\) và \(C{O_2}\parallel B{O_1}\)
\( \Rightarrow CF\) là đường trung bình của \(\Delta SBE\)
\( \Rightarrow F\) là trung điểm của \(SE\).
Vậy \(EF\) đi qua \(S\) (3)
Từ (1) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(BC,EF\) và \({O_1}{O_2}\) đồng quy tại \(S\)

c) Gọi \(K\) là giao điểm của \(EF\) với đường tròn đường kính \(CD\), \(H\) là giao điểm của \(K{O_2}\) với \(AB\).

Ta có \(K \in SM,{O_2}\) là trung điểm \(S{O_1}\) và \(K{O_2} = \dfrac{1}{2}{O_1}M\) nên \(K{O_2}\) là đường trung bình của \(\Delta S{O_1}M\)

\(\; \Rightarrow K{O_2}\parallel M{O_1}\)

\(\angle {K{O_2}D} = \angle {KHA} = \angle {M{O_1}A}\) (đồng vị)

Mà \(\angle {K{O_2}D} = 2\angle {KND}\) và \(\angle {M{O_1}A} = 2\angle {MAD}\)

\( \Rightarrow \angle {KND} = \angle {MAD}{\rm{\;hay\;}}\angle {MND} = \angle {MAD}\)

Vậy tứ giác \(ADMN\) nội tiếp hay bốn điểm \(A,D,M,N\) cùng thuộc một đường tròn.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link