Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = AC\). Trên các cạnh \(AB,\,\,AC\) lần lượt lấy các điểm \(E,\,\,D\) sao

Câu hỏi số 680922:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = AC\). Trên các cạnh \(AB,\,\,AC\) lần lượt lấy các điểm \(E,\,\,D\) sao cho \(DE = DC\). Giả sử đường thẳng đi qua \(D\) và trung điểm của đoạn thẳng \(EB\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(F\). Chứng minh rằng \(EF\) chia đôi góc \(AED\)

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BE\), \(G\) là giao của đường thẳng \(EF,\,\,AC\)

Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{{GA}}{{GD}} = \dfrac{{EA}}{{ED}}\)

Áp dụng định lí Menelaus cho \(\Delta ADM\) với 3 điểm \(G,\,\,E,\,\,F\) thẳng hàng ta có:

\(\dfrac{{GA}}{{GD}}.\dfrac{{FD}}{{FM}}.\dfrac{{EM}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{GA}}{{GD}} = \dfrac{{FM}}{{FD}}.\dfrac{{EA}}{{EM}}\)

Lấy \(I \in BC\) sao cho \(DI\parallel AB\)

Khi đó \(\Delta FMB~\Delta FDI \Rightarrow \dfrac{{FM}}{{FD}} = \dfrac{{BM}}{{DI}}\)

Do \(\Delta ABC\) cân, \(DI\parallel AB \Rightarrow \Delta DCI\) cân

Do đó \(DI = DC = DE\)

\( \Rightarrow \dfrac{{FM}}{{FD}} = \dfrac{{BM}}{{DI}} = \dfrac{{BM}}{{DE}}\)

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(BE \Rightarrow EM = MB \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EM}} = \dfrac{{EA}}{{MB}}\)

Khi đó \(\dfrac{{GA}}{{GD}} = \dfrac{{FM}}{{FD}}.\dfrac{{EA}}{{EM}} = \dfrac{{BM}}{{DE}}.\dfrac{{EA}}{{BM}} = \dfrac{{EA}}{{ED}}\)

Vậy \(EF\) chia đôi góc \(AED\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:680922

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.