Cho \(\Delta ABC\) nhọn có \(AB < AC\). Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là chân đường cao kẻ từ
Cho \(\Delta ABC\) nhọn có \(AB < AC\). Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là chân đường cao kẻ từ \(A,\,\,B,\,\,C\). Gọi \(P\) là giao điếm của đường thẳng \(BC\) và \(EF\). Đường thẳng qua \(D\) song song với \(EF\) lần lượt cắt các đường thẳng \(AB,\,\,AC,\,\,CF\) tại \(Q,\,\,R,\,\,S\). Chứng minh \(\dfrac{{PB}}{{PC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}\) và \(D\) là trung điểm của \(QS\)
Quảng cáo
Xét \(\Delta DHB\) và \(\Delta EHA\) có:
\(\angle BHD = \angle EHA\) (2 góc đối đỉnh)
\(\angle BDH = \angle HEA = {90^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta DHB~\Delta EHA\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{AE}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} & \left( 1 \right)\end{array}\)
Chứng minh tương tự \(\Delta DHC~\Delta FHA \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{AF}} = \dfrac{{HC}}{{HA}}\,\,\left( 2 \right),\,\,\Delta BFH~\Delta CEH \Rightarrow \dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{BF}}{{CE}}\,\,\left( 3 \right)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{DB}}{{AE}}.\dfrac{{AF}}{{DC}} = \dfrac{{HB}}{{HC}} \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AE}}{{AF}}.\dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{AE}}{{AF}}.\dfrac{{BF}}{{CE}}\,\,\left( 4 \right)\)
Áp dụng định lí Menelaus cho \(\Delta ABC\) với 3 điểm \(P,\,\,E,\,\,F\) thẳng hàng ta có: \(\dfrac{{PB}}{{PC}}.\dfrac{{EC}}{{EA}}.\dfrac{{FA}}{{FB}} = 1\)
\( \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{PC}} = \dfrac{{AE}}{{AF}}.\dfrac{{BF}}{{CE}}\,\,\left( 5 \right)\)
Từ (4) và (5) suy ra \(\dfrac{{PB}}{{PC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}\,\,\left( 6 \right)\)
Mà \(QR\parallel EF \Rightarrow \dfrac{{DQ}}{{PF}} = \dfrac{{BD}}{{BP}},\,\,\dfrac{{DS}}{{PF}} = \dfrac{{CD}}{{CP}}\) (theo định lí Thales) (7)
Từ (6) và (7) suy ra \(DQ = DS\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
