Cho \(\Delta ABC\) nhọn có \(AB < AC\). Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là chân đường cao kẻ từ

Câu hỏi số 680921:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) nhọn có \(AB < AC\). Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là chân đường cao kẻ từ \(A,\,\,B,\,\,C\). Gọi \(P\) là giao điếm của đường thẳng \(BC\) và \(EF\). Đường thẳng qua \(D\) song song với \(EF\) lần lượt cắt các đường thẳng \(AB,\,\,AC,\,\,CF\) tại \(Q,\,\,R,\,\,S\). Chứng minh \(\dfrac{{PB}}{{PC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}\) và \(D\) là trung điểm của \(QS\)

Giải chi tiết

Xét \(\Delta DHB\) và \(\Delta EHA\) có:

\(\angle BHD = \angle EHA\) (2 góc đối đỉnh)

\(\angle BDH = \angle HEA = {90^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta DHB~\Delta EHA\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{AE}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} & \left( 1 \right)\end{array}\)

Chứng minh tương tự \(\Delta DHC~\Delta FHA \Rightarrow \dfrac{{DC}}{{AF}} = \dfrac{{HC}}{{HA}}\,\,\left( 2 \right),\,\,\Delta BFH~\Delta CEH \Rightarrow \dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{BF}}{{CE}}\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{DB}}{{AE}}.\dfrac{{AF}}{{DC}} = \dfrac{{HB}}{{HC}} \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AE}}{{AF}}.\dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{AE}}{{AF}}.\dfrac{{BF}}{{CE}}\,\,\left( 4 \right)\)

Áp dụng định lí Menelaus cho \(\Delta ABC\) với 3 điểm \(P,\,\,E,\,\,F\) thẳng hàng ta có: \(\dfrac{{PB}}{{PC}}.\dfrac{{EC}}{{EA}}.\dfrac{{FA}}{{FB}} = 1\)

\( \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{PC}} = \dfrac{{AE}}{{AF}}.\dfrac{{BF}}{{CE}}\,\,\left( 5 \right)\)

Từ (4) và (5) suy ra \(\dfrac{{PB}}{{PC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}\,\,\left( 6 \right)\)

Mà \(QR\parallel EF \Rightarrow \dfrac{{DQ}}{{PF}} = \dfrac{{BD}}{{BP}},\,\,\dfrac{{DS}}{{PF}} = \dfrac{{CD}}{{CP}}\) (theo định lí Thales) (7)

Từ (6) và (7) suy ra \(DQ = DS\) (đpcm)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:680921

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.