Cho điểm \(O\) nằm trong tam giác \(ABC\), các tia \(AO,\,\,BO,\,\,CO\) cắt các cạnh tại
Cho điểm \(O\) nằm trong tam giác \(ABC\), các tia \(AO,\,\,BO,\,\,CO\) cắt các cạnh tại \(D,\,\,E,\,\,F\). Tìm vị trí của \(O\) để \(M = \dfrac{{OA}}{{OD}} + \dfrac{{OB}}{{OE}} + \dfrac{{OC}}{{OF}}\) có giá trị nhỏ nhất
Quảng cáo
Đặt \(S = {S_{ABC}},\,\,{S_1} = {S_{BOC}},\,\,{S_2} = {S_{COA}},\,\,{S_3} = {S_{AOB}}\)
Ta có: \(\dfrac{{OA}}{{AD}} = \dfrac{{{S_{AOC}}}}{{{S_{ADC}}}} = \dfrac{{{S_{AOB}}}}{{{S_{ABD}}}} = \dfrac{{{S_{AOC}} + {S_{AOB}}}}{{{S_{ADC}} + {S_{ABD}}}} = \dfrac{{{S_2} + {S_3}}}{S}\) (1)
\(\dfrac{{OB}}{{BE}} = \dfrac{{{S_{AOB}}}}{{{S_{ABE}}}} = \dfrac{{{S_{BOC}}}}{{{S_{BEC}}}} = \dfrac{{{S_{AOB}} + {S_{BOC}}}}{{{S_{ABE}} + {S_{BEC}}}} = \dfrac{{{S_1} + {S_3}}}{S}\) (2)
\(\dfrac{{OC}}{{CF}} = \dfrac{{{S_{AOC}}}}{{{S_{ACF}}}} = \dfrac{{{S_{BOC}}}}{{{S_{BCF}}}} = \dfrac{{{S_{AOC}} + {S_{BOC}}}}{{{S_{ACF}} + {S_{BCF}}}} = \dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{S}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{OA}}{{AD}} + \dfrac{{OB}}{{BE}} + \dfrac{{OC}}{{CF}} = \dfrac{{{S_2} + {S_3}}}{S} + \dfrac{{{S_1} + {S_3}}}{S} + \dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{S} = \dfrac{{2\left( {{S_1} + {S_2} + {S_3}} \right)}}{S} = \dfrac{{2S}}{S} = 2\)
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
