Cho điểm \(O\) nằm trong tam giác \(ABC\), các tia \(AO,\,\,BO,\,\,CO\) cắt các cạnh tại
Cho điểm \(O\) nằm trong tam giác \(ABC\), các tia \(AO,\,\,BO,\,\,CO\) cắt các cạnh tại \(D,\,\,E,\,\,F\). Tìm vị trí của \(O\) để \(M = \dfrac{{OA}}{{OD}} + \dfrac{{OB}}{{OE}} + \dfrac{{OC}}{{OF}}\) có giá trị nhỏ nhất
Quảng cáo
Đặt \(S = {S_{ABC}},\,\,{S_1} = {S_{BOC}},\,\,{S_2} = {S_{COA}},\,\,{S_3} = {S_{AOB}}\)
Ta có: \(\dfrac{{OA}}{{AD}} = \dfrac{{{S_{AOC}}}}{{{S_{ADC}}}} = \dfrac{{{S_{AOB}}}}{{{S_{ABD}}}} = \dfrac{{{S_{AOC}} + {S_{AOB}}}}{{{S_{ADC}} + {S_{ABD}}}} = \dfrac{{{S_2} + {S_3}}}{S}\) (1)
\(\dfrac{{OB}}{{BE}} = \dfrac{{{S_{AOB}}}}{{{S_{ABE}}}} = \dfrac{{{S_{BOC}}}}{{{S_{BEC}}}} = \dfrac{{{S_{AOB}} + {S_{BOC}}}}{{{S_{ABE}} + {S_{BEC}}}} = \dfrac{{{S_1} + {S_3}}}{S}\) (2)
\(\dfrac{{OC}}{{CF}} = \dfrac{{{S_{AOC}}}}{{{S_{ACF}}}} = \dfrac{{{S_{BOC}}}}{{{S_{BCF}}}} = \dfrac{{{S_{AOC}} + {S_{BOC}}}}{{{S_{ACF}} + {S_{BCF}}}} = \dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{S}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{OA}}{{AD}} + \dfrac{{OB}}{{BE}} + \dfrac{{OC}}{{CF}} = \dfrac{{{S_2} + {S_3}}}{S} + \dfrac{{{S_1} + {S_3}}}{S} + \dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{S} = \dfrac{{2\left( {{S_1} + {S_2} + {S_3}} \right)}}{S} = \dfrac{{2S}}{S} = 2\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
