Cho điểm \(O\) nằm trong tam giác \(ABC\), các tia \(AO,\,\,BO,\,\,CO\) cắt các cạnh tại
Cho điểm \(O\) nằm trong tam giác \(ABC\), các tia \(AO,\,\,BO,\,\,CO\) cắt các cạnh tại \(D,\,\,E,\,\,F\). Tìm vị trí của \(O\) để \(M = \dfrac{{OA}}{{OD}} + \dfrac{{OB}}{{OE}} + \dfrac{{OC}}{{OF}}\) có giá trị nhỏ nhất
Đặt \(S = {S_{ABC}},\,\,{S_1} = {S_{BOC}},\,\,{S_2} = {S_{COA}},\,\,{S_3} = {S_{AOB}}\)
Ta có: \(\dfrac{{OA}}{{AD}} = \dfrac{{{S_{AOC}}}}{{{S_{ADC}}}} = \dfrac{{{S_{AOB}}}}{{{S_{ABD}}}} = \dfrac{{{S_{AOC}} + {S_{AOB}}}}{{{S_{ADC}} + {S_{ABD}}}} = \dfrac{{{S_2} + {S_3}}}{S}\) (1)
\(\dfrac{{OB}}{{BE}} = \dfrac{{{S_{AOB}}}}{{{S_{ABE}}}} = \dfrac{{{S_{BOC}}}}{{{S_{BEC}}}} = \dfrac{{{S_{AOB}} + {S_{BOC}}}}{{{S_{ABE}} + {S_{BEC}}}} = \dfrac{{{S_1} + {S_3}}}{S}\) (2)
\(\dfrac{{OC}}{{CF}} = \dfrac{{{S_{AOC}}}}{{{S_{ACF}}}} = \dfrac{{{S_{BOC}}}}{{{S_{BCF}}}} = \dfrac{{{S_{AOC}} + {S_{BOC}}}}{{{S_{ACF}} + {S_{BCF}}}} = \dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{S}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{OA}}{{AD}} + \dfrac{{OB}}{{BE}} + \dfrac{{OC}}{{CF}} = \dfrac{{{S_2} + {S_3}}}{S} + \dfrac{{{S_1} + {S_3}}}{S} + \dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{S} = \dfrac{{2\left( {{S_1} + {S_2} + {S_3}} \right)}}{S} = \dfrac{{2S}}{S} = 2\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com