Cho điểm \(O\) nằm trong tam giác \(ABC\), các tia \(AO,\,\,BO,\,\,CO\) cắt các cạnh tại

Câu hỏi số 682357:

Vận dụng

Cho điểm \(O\) nằm trong tam giác \(ABC\), các tia \(AO,\,\,BO,\,\,CO\) cắt các cạnh tại \(D,\,\,E,\,\,F\). Tìm vị trí của \(O\) để \(M = \dfrac{{OA}}{{OD}} + \dfrac{{OB}}{{OE}} + \dfrac{{OC}}{{OF}}\) có giá trị nhỏ nhất

Câu trả lời của bạn

Giải chi tiết

Đặt \(S = {S_{ABC}},\,\,{S_1} = {S_{BOC}},\,\,{S_2} = {S_{COA}},\,\,{S_3} = {S_{AOB}}\)

Ta có: \(\dfrac{{OA}}{{AD}} = \dfrac{{{S_{AOC}}}}{{{S_{ADC}}}} = \dfrac{{{S_{AOB}}}}{{{S_{ABD}}}} = \dfrac{{{S_{AOC}} + {S_{AOB}}}}{{{S_{ADC}} + {S_{ABD}}}} = \dfrac{{{S_2} + {S_3}}}{S}\) (1)

\(\dfrac{{OB}}{{BE}} = \dfrac{{{S_{AOB}}}}{{{S_{ABE}}}} = \dfrac{{{S_{BOC}}}}{{{S_{BEC}}}} = \dfrac{{{S_{AOB}} + {S_{BOC}}}}{{{S_{ABE}} + {S_{BEC}}}} = \dfrac{{{S_1} + {S_3}}}{S}\) (2)

\(\dfrac{{OC}}{{CF}} = \dfrac{{{S_{AOC}}}}{{{S_{ACF}}}} = \dfrac{{{S_{BOC}}}}{{{S_{BCF}}}} = \dfrac{{{S_{AOC}} + {S_{BOC}}}}{{{S_{ACF}} + {S_{BCF}}}} = \dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{S}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{{OA}}{{AD}} + \dfrac{{OB}}{{BE}} + \dfrac{{OC}}{{CF}} = \dfrac{{{S_2} + {S_3}}}{S} + \dfrac{{{S_1} + {S_3}}}{S} + \dfrac{{{S_1} + {S_2}}}{S} = \dfrac{{2\left( {{S_1} + {S_2} + {S_3}} \right)}}{S} = \dfrac{{2S}}{S} = 2\)

Xem lời giải

Câu hỏi:682357

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.