Cho tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh là \(a,\,\,b,\,\,c\) và độ dài các đường cao tương ứng

Câu hỏi số 682356:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh là \(a,\,\,b,\,\,c\) và độ dài các đường cao tương ứng là \({h_a},\,\,{h_b},\,\,{h_c}\). Chứng minh rằng nếu \({a^2} = {b^2} + {c^2}\) thì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:682356

Giải chi tiết

Gọi \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\)

Ta có: \(S = \dfrac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow a = \dfrac{{2S}}{{{h_a}}} \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{4{S^2}}}{{{h_a}^2}}\)

Tương tự ta có: \({b^2} = \dfrac{{4{S^2}}}{{h_b^2}},\,\,{c^2} = \dfrac{{4{S^2}}}{{h_c^2}}\)

Khi đó \({b^2} + {c^2} = \dfrac{{4{S^2}}}{{h_b^2}} + \dfrac{{4{S^2}}}{{h_c^2}} = 4{S^2}\left( {\dfrac{1}{{h_b^2}} + \dfrac{1}{{h_c^2}}} \right)\)

Theo giả thiết \(\dfrac{1}{{h_a^2}} = \dfrac{1}{{h_b^2}} + \dfrac{1}{{h_c^2}}\)

\( \Rightarrow {b^2} + {c^2} = 4{S^2}\left( {\dfrac{1}{{h_b^2}} + \dfrac{1}{{h_c^2}}} \right) = \dfrac{{4{S^2}}}{{h_a^2}} = {a^2}\)

Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link