Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh \(a,\,\,b,\,\,c\) và độ dài các đường cao tương ứng là

Câu hỏi số 682358:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh \(a,\,\,b,\,\,c\) và độ dài các đường cao tương ứng là \({h_a},\,\,{h_b},\,\,{h_c}\). \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là hình chiếu của \(I\) trên \(AB,\,\,AC,\,\,BC\). Chứng minh \(ID = IE = IF\) và \(\dfrac{1}{{ID}} = \dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}\)

Câu trả lời của bạn

Giải chi tiết

Xét \(\Delta IBD\) vuông tại \(D\) và \(\Delta IBF\) vuông tại \(F\) có:

\(\begin{array}{l}\angle IBD = \angle IBF\\IB\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta IBD = \Delta IBF\,\,\left( {ch - gn} \right)\end{array}\)

Do đó \(IF = ID\)

Tương tự ta có \(IE = IF,\,\,IE = ID \Rightarrow ID = IE = IF\)

Đặt \(ID = IE = IF = r\)

Ta có: \({S_{AIB}} = \dfrac{1}{2}IF.AB = \dfrac{1}{2}rc\)

Tương tự \({S_{AIC}} = \dfrac{1}{2}rb,\,\,{S_{BIC}} = \dfrac{1}{2}ra\)

Do đó \({S_{ABC}} = {S_{AIB}} + {S_{AIC}} + {S_{BIC}} = \dfrac{1}{2}rc + \dfrac{1}{2}rb + \dfrac{1}{2}ra = \dfrac{1}{2}r\left( {a + b + c} \right) = pr\) với \(p\) là nửa chu vi của \(\Delta ABC\)

Ta có: \(S = \dfrac{{a{h_a}}}{2} = pr \Rightarrow \dfrac{{2r}}{{{h_a}}} = \dfrac{a}{p}\)

Tương tự \(\dfrac{{2r}}{{{h_b}}} = \dfrac{b}{p},\,\,\dfrac{{2r}}{{{h_c}}} = \dfrac{c}{p}\)

Từ đó suy ra \(2r\left( {\dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}} \right) = \dfrac{{a + b + c}}{p} = \dfrac{{2p}}{p} = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} = \dfrac{1}{r}\) (đpcm)

Xem lời giải

Câu hỏi:682358

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.