Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh \(a,\,\,b,\,\,c\) và độ dài các đường cao tương ứng là \({h_a},\,\,{h_b},\,\,{h_c}\). \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là hình chiếu của \(I\) trên \(AB,\,\,AC,\,\,BC\). Chứng minh \(ID = IE = IF\) và \(\dfrac{1}{{ID}} = \dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}\)

Câu 682358: Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh \(a,\,\,b,\,\,c\) và độ dài các đường cao tương ứng là \({h_a},\,\,{h_b},\,\,{h_c}\). \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là hình chiếu của \(I\) trên \(AB,\,\,AC,\,\,BC\). Chứng minh \(ID = IE = IF\) và \(\dfrac{1}{{ID}} = \dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}\)

Câu hỏi : 682358
  • (0) bình luận (0) lời giải
    ** Viết lời giải để bạn bè cùng tham khảo ngay tại đây

    Giải chi tiết:

    Xét \(\Delta IBD\) vuông tại \(D\) và \(\Delta IBF\) vuông tại \(F\) có:

    \(\begin{array}{l}\angle IBD = \angle IBF\\IB\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta IBD = \Delta IBF\,\,\left( {ch - gn} \right)\end{array}\)

    Do đó \(IF = ID\)

    Tương tự ta có \(IE = IF,\,\,IE = ID \Rightarrow ID = IE = IF\)

    Đặt \(ID = IE = IF = r\)

    Ta có: \({S_{AIB}} = \dfrac{1}{2}IF.AB = \dfrac{1}{2}rc\)

    Tương tự \({S_{AIC}} = \dfrac{1}{2}rb,\,\,{S_{BIC}} = \dfrac{1}{2}ra\)

    Do đó \({S_{ABC}} = {S_{AIB}} + {S_{AIC}} + {S_{BIC}} = \dfrac{1}{2}rc + \dfrac{1}{2}rb + \dfrac{1}{2}ra = \dfrac{1}{2}r\left( {a + b + c} \right) = pr\) với \(p\) là nửa chu vi của \(\Delta ABC\)

    Ta có: \(S = \dfrac{{a{h_a}}}{2} = pr \Rightarrow \dfrac{{2r}}{{{h_a}}} = \dfrac{a}{p}\)

    Tương tự \(\dfrac{{2r}}{{{h_b}}} = \dfrac{b}{p},\,\,\dfrac{{2r}}{{{h_c}}} = \dfrac{c}{p}\)

    Từ đó suy ra \(2r\left( {\dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}} \right) = \dfrac{{a + b + c}}{p} = \dfrac{{2p}}{p} = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} = \dfrac{1}{r}\) (đpcm)

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com