Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh \(a,\,\,b,\,\,c\) và độ dài các đường cao tương ứng là
Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh \(a,\,\,b,\,\,c\) và độ dài các đường cao tương ứng là \({h_a},\,\,{h_b},\,\,{h_c}\). \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác. Gọi \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là hình chiếu của \(I\) trên \(AB,\,\,AC,\,\,BC\). Chứng minh \(ID = IE = IF\) và \(\dfrac{1}{{ID}} = \dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}\)
Quảng cáo
Xét \(\Delta IBD\) vuông tại \(D\) và \(\Delta IBF\) vuông tại \(F\) có:
\(\begin{array}{l}\angle IBD = \angle IBF\\IB\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta IBD = \Delta IBF\,\,\left( {ch - gn} \right)\end{array}\)
Do đó \(IF = ID\)
Tương tự ta có \(IE = IF,\,\,IE = ID \Rightarrow ID = IE = IF\)
Đặt \(ID = IE = IF = r\)
Ta có: \({S_{AIB}} = \dfrac{1}{2}IF.AB = \dfrac{1}{2}rc\)
Tương tự \({S_{AIC}} = \dfrac{1}{2}rb,\,\,{S_{BIC}} = \dfrac{1}{2}ra\)
Do đó \({S_{ABC}} = {S_{AIB}} + {S_{AIC}} + {S_{BIC}} = \dfrac{1}{2}rc + \dfrac{1}{2}rb + \dfrac{1}{2}ra = \dfrac{1}{2}r\left( {a + b + c} \right) = pr\) với \(p\) là nửa chu vi của \(\Delta ABC\)
Ta có: \(S = \dfrac{{a{h_a}}}{2} = pr \Rightarrow \dfrac{{2r}}{{{h_a}}} = \dfrac{a}{p}\)
Tương tự \(\dfrac{{2r}}{{{h_b}}} = \dfrac{b}{p},\,\,\dfrac{{2r}}{{{h_c}}} = \dfrac{c}{p}\)
Từ đó suy ra \(2r\left( {\dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}} \right) = \dfrac{{a + b + c}}{p} = \dfrac{{2p}}{p} = 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{{h_a}}} + \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} = \dfrac{1}{r}\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
