Cho tam giác nhọn \(ABC\). Từ một điểm \(I\) nằm trong tam giác ta kẻ \(IM \bot BC,\,\,IN \bot AC,\,\,IK
Cho tam giác nhọn \(ABC\). Từ một điểm \(I\) nằm trong tam giác ta kẻ \(IM \bot BC,\,\,IN \bot AC,\,\,IK \bot AB\). Đặt \(AK = x,\,\,BM = y,\,\,CN = z\). Tìm vị trí của \(I\) để tổng \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) nhỏ nhất.
Gọi khoảng cách từ \(A,\,\,I,\,\,G\) đến \(BC\) lần lượt là \(AH,\,\,IK,\,\,GD\)
Vì \(I\) là giao của 3 đường phân giác nên khoàng cách từ \(I\) đến ba cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CA\) bằng nhau và bằng \(IK\)
Do \(I\)nằm trong tam giác \(ABC\) nên \({S_{ABC}} = {S_{AIB}} + {S_{BIC}} + {S_{CIA}} \Rightarrow BC.AH = IK\left( {AB + BC + CA} \right)\,\,\left( 1 \right)\)
Mà \(BC = \dfrac{{AB + CA}}{2} \Rightarrow AB + CA = 2BC\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC.AH = IK.3BC \Rightarrow IK = \dfrac{1}{3}AH\,\,\left( 3 \right)\)
Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \({S_{BGC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}} \Rightarrow BC.GD = \dfrac{1}{3}BC.AH \Rightarrow GD = \dfrac{1}{3}AH\,\,\left( 4 \right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(IK = GD\)
Do đó tứ giác \(IKDG\) là hình chữ nhật
Suy ra \(IG\parallel KD \Rightarrow IG\parallel BC\) (đpcm)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com