Cho tam giác nhọn \(ABC\). Từ một điểm \(I\) nằm trong tam giác ta kẻ \(IM \bot BC,\,\,IN \bot AC,\,\,IK
Cho tam giác nhọn \(ABC\). Từ một điểm \(I\) nằm trong tam giác ta kẻ \(IM \bot BC,\,\,IN \bot AC,\,\,IK \bot AB\). Đặt \(AK = x,\,\,BM = y,\,\,CN = z\). Tìm vị trí của \(I\) để tổng \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) nhỏ nhất.
Quảng cáo
Gọi khoảng cách từ \(A,\,\,I,\,\,G\) đến \(BC\) lần lượt là \(AH,\,\,IK,\,\,GD\)
Vì \(I\) là giao của 3 đường phân giác nên khoàng cách từ \(I\) đến ba cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CA\) bằng nhau và bằng \(IK\)
Do \(I\)nằm trong tam giác \(ABC\) nên \({S_{ABC}} = {S_{AIB}} + {S_{BIC}} + {S_{CIA}} \Rightarrow BC.AH = IK\left( {AB + BC + CA} \right)\,\,\left( 1 \right)\)
Mà \(BC = \dfrac{{AB + CA}}{2} \Rightarrow AB + CA = 2BC\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC.AH = IK.3BC \Rightarrow IK = \dfrac{1}{3}AH\,\,\left( 3 \right)\)
Vì \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \({S_{BGC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}} \Rightarrow BC.GD = \dfrac{1}{3}BC.AH \Rightarrow GD = \dfrac{1}{3}AH\,\,\left( 4 \right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(IK = GD\)
Do đó tứ giác \(IKDG\) là hình chữ nhật
Suy ra \(IG\parallel KD \Rightarrow IG\parallel BC\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
