Cho điểm \(M\) di chuyển trên đoạn thẳng \(AB\). Vẽ các tam giác đều \(AMC\) và \(BMD\) về một

Câu hỏi số 682360:

Vận dụng

Cho điểm \(M\) di chuyển trên đoạn thẳng \(AB\). Vẽ các tam giác đều \(AMC\) và \(BMD\) về một phía của \(AB\). Xác định vị trí của \(M\) để tổng diện tích hai tam giác đều trên là nhỏ nhất.

Câu trả lời của bạn

Giải chi tiết

Gọi \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)

Vì \(\angle AMC = \angle MBD = {60^0} \Rightarrow CM\parallel BD \Rightarrow\) △AMC ∼ △ BMD ∼ △AKB

Đặt \(AM = x,\,\,BM = y,\,\,AB = a\)

Ta có: \(\dfrac{{{S_{AMC}}}}{{{S_{AKB}}}} = {\left( {\dfrac{{AM}}{{AB}}} \right)^2} = \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}},\,\,\dfrac{{{S_{BMD}}}}{{{S_{AKB}}}} = {\left( {\dfrac{{BM}}{{AB}}} \right)^2} = \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{AMC}} + {S_{BMD}}}}{{{S_{AKB}}}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{{a^2}}} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{2{a^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{2{a^2}}} = \dfrac{1}{2}\)

Mà \({S_{AKB}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{AMC}} + {S_{BMD}} \ge \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{8}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(AM = BM\) hay \(M\) là trung điểm của \(AB\)

Xem lời giải

Câu hỏi:682360

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.