Trong không gian \(Oxyz\), cho hình nón \(\left( \mathcal{N} \right)\) có đỉnh \(A\left( {2;3;0} \right)\), độ dài đường sinh bằng 5 và đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z - 1 = 0\). Gọi \(\left( C \right)\) là giao tuyến của mặt xung quanh của \(\left( \mathcal{N} \right)\) với mặt phẳng \(\left( Q \right):x - 4y + z + 4 = 0\) và \(M\) là một điểm di động trên \(\left( C \right)\). Hỏi giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(AM\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 683270: Trong không gian \(Oxyz\), cho hình nón \(\left( \mathcal{N} \right)\) có đỉnh \(A\left( {2;3;0} \right)\), độ dài đường sinh bằng 5 và đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + 2z - 1 = 0\). Gọi \(\left( C \right)\) là giao tuyến của mặt xung quanh của \(\left( \mathcal{N} \right)\) với mặt phẳng \(\left( Q \right):x - 4y + z + 4 = 0\) và \(M\) là một điểm di động trên \(\left( C \right)\). Hỏi giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(AM\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {\dfrac{3}{2};2} \right)\)

B. \(\left( {0;1} \right)\)

C. \(\left( {1;\dfrac{3}{2}} \right)\)

D. \(\left( {2;3} \right)\)

Câu hỏi : 683270

Phương pháp giải:

Nhận xét thấy \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\) nên \(\left( Q \right)\) cắt hình nón được thiết diện là 1 parabol đỉnh M

Khi đó độ dài SM nhỏ nhất

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Nhận xét thấy \(\left( P \right) \bot \left( Q \right)\) nên \(\left( Q \right)\) cắt hình nón được thiết diện là 1 parabol đỉnh M
Khi đó độ dài SM nhỏ nhất
Ta có \(AI\) qua A, có VPPT là \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2,1,2} \right) \Rightarrow AI:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + t\\z = 2t\end{array} \right.\)
Ta có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {4 + 3 - 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \dfrac{6}{3} = 2\)
Gọi \(O\left( {2 + 2t,3 + t,2t} \right)\). Do \(IA = 2 \Rightarrow t = \dfrac{2}{3} \Rightarrow I\left( {\dfrac{{10}}{3},\dfrac{{11}}{3},\dfrac{4}{3}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \sqrt 2 = IH\\ \Rightarrow \dfrac{{AM}}{5} = \dfrac{{IH}}{R} \Rightarrow AM = \dfrac{{5\sqrt 2 }}{{\sqrt {21} }} \approx 1,54\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.