Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4,\forall x \in

Câu hỏi số 683269:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4,\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(g\left( x \right) = f\left( { - {x^3} + 3{x^2} + m} \right)\) có đúng hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {1;4} \right)\) ?

A. 9

B. 7

C. 8

D. 10

Đáp án đúng là: A

Giải chi tiết

\(f'\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = f\left( { - {x^3} + 3{x^2} + m} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( { - 3{x^2} + 6x} \right).f'\left( { - {x^3} + 3{x^2} + m} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left( {1,4} \right)\\x = 2 \in \left( {1,4} \right)\\{x^3} - 3{x^2} = m + 1\\{x^3} - 3{x^2} = m - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left( {1,4} \right)\\x = 2 \in \left( {1,4} \right)\\{x^3} - 3{x^2} = m + 1\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^3} - 3{x^2} = m - 4\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có bảng biến thiên của hàm \(y = - {x^3} + 3{x^2}\)

Để hàm \(g\left( x \right)\) có đúng 2 cực trị thuộc (1,4) thì phương trình (1), (2) có đúng 1 nghiệm thuộc (1,4)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 \le m + 1 < 16\\m - 4 \le - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le m \le 15\\m \le 0\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left[ { - 3,0} \right]\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ge 16\\ - 2 \le m - 4 < 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 15\\2 \le m < 20\end{array} \right. \Rightarrow 15 \le m < 20\)

Do m nguyên nên \(m \in \left\{ { - 3, - 2, - 1,0,15,16,17,18,19} \right\}\)

Vậy có tất cả 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Xem lời giải

Câu hỏi:683269

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.