Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4,\forall x \in
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4,\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số \(g\left( x \right) = f\left( { - {x^3} + 3{x^2} + m} \right)\) có đúng hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {1;4} \right)\) ?
Đáp án đúng là: A
\(f'\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = f\left( { - {x^3} + 3{x^2} + m} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( { - 3{x^2} + 6x} \right).f'\left( { - {x^3} + 3{x^2} + m} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left( {1,4} \right)\\x = 2 \in \left( {1,4} \right)\\{x^3} - 3{x^2} = m + 1\\{x^3} - 3{x^2} = m - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left( {1,4} \right)\\x = 2 \in \left( {1,4} \right)\\{x^3} - 3{x^2} = m + 1\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^3} - 3{x^2} = m - 4\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có bảng biến thiên của hàm \(y = - {x^3} + 3{x^2}\)
Để hàm \(g\left( x \right)\) có đúng 2 cực trị thuộc (1,4) thì phương trình (1), (2) có đúng 1 nghiệm thuộc (1,4)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 \le m + 1 < 16\\m - 4 \le - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le m \le 15\\m \le 0\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left[ { - 3,0} \right]\)
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ge 16\\ - 2 \le m - 4 < 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 15\\2 \le m < 20\end{array} \right. \Rightarrow 15 \le m < 20\)
Do m nguyên nên \(m \in \left\{ { - 3, - 2, - 1,0,15,16,17,18,19} \right\}\)
Vậy có tất cả 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn
Hỗ trợ - Hướng dẫn
![](/themes/images/call.png)
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com