Cho khối hộp \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a,\angle ABC = {120^\circ }\). Hình

Câu hỏi số 685104:

Vận dụng

Cho khối hộp \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a,\angle ABC = {120^\circ }\). Hình chiếu vuông góc của \({D^\prime }\) lên \((ABCD)\) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ADD'A'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng \({45^\circ }\). Thể tích khối hộp đã cho bằng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:685104

Phương pháp giải

Thể tích hình lăng trụ có chiều cao h, diện tích đáy B: \(V = Bh\).

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của A C và B D.

Ta có \(D'O \bot (ABCD)\) và \(\left( {ADD'A'} \right) \cap (ABCD) = AD\). Dựng \(OM \bot AD\) tại \(M\). Khi đó góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ADD'A'} \right)\) và \((ABCD)\) là \(\angle D'MO\).

Vi \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) song song với \((ABCD)\) nên \(\angle D'MO = {45^\circ }\).

Do \(\angle ABC = {120^\circ }\) nên \(\angle BAC = {60^\circ }\) và do đó tam giác ABD đều.

Ta tính được \(OM = OD \cdot \sin {60^\circ } = \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4},O{D^\prime } = OM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Diện tích hình thoi ABCD là \({S_{ABCD}} = a \cdot a \cdot \sin {120^\circ } = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy thể tích khối hộp đã cho là \(V = {S_{ABCD}}.O{D^\prime } = \dfrac{{3{a^3}}}{8}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.