Cho hàm số \(f(x) = 2{x^3} + a{x^2} + bx + c\) có \(f(0) = 2{f^\prime }(0)\) và \(f(x) \ge 2{f^\prime }(x)\) với mọi \(x \ge - 1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(a\) để hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) ?

Câu 686174: Cho hàm số \(f(x) = 2{x^3} + a{x^2} + bx + c\) có \(f(0) = 2{f^\prime }(0)\) và \(f(x) \ge 2{f^\prime }(x)\) với mọi \(x \ge - 1\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(a\) để hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) ?

A. Vô số.

B. 11 .

C. 1 .

D. 10 .

Câu hỏi : 686174

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(f(x) = 2{x^3} + a{x^2} + bx + c \Rightarrow f'\left( x \right) = 6{x^2} + 2ax + b\)
\(f(0) = 2{f^\prime }(0) \Leftrightarrow c = 2b\)
\(f(x) \ge 2{f^\prime }(x)\) với mọi \(x \ge - 1\) nên
\(\begin{array}{l}2{x^3} + a{x^2} + bx + c \ge 2\left( {6{x^2} + 2ax + b} \right)\,\,\,\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow 2{x^3} + \left( {a - 12} \right){x^2} + \left( {b - 4a} \right)x \ge 0\,\,\,\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow x\left( {2{x^2} + \left( {a - 12} \right)x + b - 4a} \right) \ge 0\,\,\,\forall x \ge - 1\end{array}\)
\( \Rightarrow 2{x^2} + \left( {a - 12} \right)x + b - 4a = 0\) có 1 nghiệm \(x = 0\)
\( \Rightarrow b - 4a = 0 \Leftrightarrow b = 4a\)
Khi đó \(x\left( {2{x^2} + \left( {a - 12} \right)x + b - 4a} \right) \ge 0\,\,\,\forall x \ge - 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + a - 12} \right) \ge 0\,\,\,\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow 2x + a - 12 \ge 0\,\,\,\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow a \ge 12 - 2x\,\,\,\forall x \ge - 1\\ \Leftrightarrow a \ge \mathop {\max }\limits_{x \ge - 1} \left( {12 - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow a \ge 14\end{array}\)
Để hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(f'\left( x \right) = 6{x^2} + 2ax + b \ge 0\,\,\,\forall x\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {a^2} - 6b \le 0 \Leftrightarrow {a^2} - 24a \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le a \le 24\end{array}\)
Kết hợp \(a \ge 14 \Rightarrow 14 \le a \le 24 \Rightarrow a \in \left\{ {14,15,...,24} \right\}\)
Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của a thỏa mãn.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.