Cho hình chóp \(S \cdot ABCD\) có đáy ABCD là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a\) và \(BD = a\). Biết cạnh

Câu hỏi số 687982:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S \cdot ABCD\) có đáy ABCD là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a\) và \(BD = a\). Biết cạnh \(SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Chứng minh rằng:

a) \((SAC) \bot (SBD)\).

b) \((SCD) \bot (SBC)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:687982

Phương pháp giải

Để chứng minh hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau ta sẽ chứng minh một đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt phẳng \((Q)\) hoặc ngược lại, một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng \((Q)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\).

Giải chi tiết

a) Do \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD\).

Mặt khác ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\).

Do đó \(BD \bot (SAC) \Rightarrow (SBD) \bot (SAC)\).

b) Dựng \({\rm{OH}} \bot {\rm{SC}}\)

Do \(BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot SC\)

Suy ra \(SC \bot (DHB)\).

Như vậy \(\angle DHB\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SCD)\) và \((SBC)\).

Tam giác ABD đều cạnh \(a\) nên

\(AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 {\rm{. }}\)

Dựng \(AK \bot SC \Rightarrow AK = \dfrac{{SA \cdot OC}}{{\sqrt {S{A^2} + O{C^2}} }} = a \Rightarrow OH = \dfrac{{AK}}{2} = \dfrac{a}{2}\).

Tam giác D H B có đường trung tuyến vuông tại \(H\) hay \(\widehat {DHB} = {90^^\circ }\).

Do đó \((SCD) \bot (SBC)\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.