Cho hình chóp \(S \cdot ABCD\) có đáy ABCD là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a\) và \(BD = a\). Biết cạnh

Câu hỏi số 687982:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S \cdot ABCD\) có đáy ABCD là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a\) và \(BD = a\). Biết cạnh \(SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Chứng minh rằng:

a) \((SAC) \bot (SBD)\).

b) \((SCD) \bot (SBC)\).

Phương pháp giải

Để chứng minh hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau ta sẽ chứng minh một đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt phẳng \((Q)\) hoặc ngược lại, một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng \((Q)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\).

Giải chi tiết

a) Do \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD\).

Mặt khác ABCD là hình thoi nên \(AC \bot BD\).

Do đó \(BD \bot (SAC) \Rightarrow (SBD) \bot (SAC)\).

b) Dựng \({\rm{OH}} \bot {\rm{SC}}\)

Do \(BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot SC\)

Suy ra \(SC \bot (DHB)\).

Như vậy \(\angle DHB\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SCD)\) và \((SBC)\).

Tam giác ABD đều cạnh \(a\) nên

\(AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 {\rm{. }}\)

Dựng \(AK \bot SC \Rightarrow AK = \dfrac{{SA \cdot OC}}{{\sqrt {S{A^2} + O{C^2}} }} = a \Rightarrow OH = \dfrac{{AK}}{2} = \dfrac{a}{2}\).

Tam giác D H B có đường trung tuyến vuông tại \(H\) hay \(\widehat {DHB} = {90^^\circ }\).

Do đó \((SCD) \bot (SBC)\).

Xem lời giải

Câu hỏi:687982

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.