Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f''\left( x \right)f\left( x \right) + 2{\left[ {f'\left( x \right)}

Câu hỏi số 688599:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f''\left( x \right)f\left( x \right) + 2{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = \dfrac{{2x}}{{f\left( x \right)}},\forall x > 0\) và \(f'\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3},f\left( 1 \right) = 2.\) Giá trị \(f\left( 2 \right)\) bằng:

A. \(\sqrt[3]{{16}}.\)

B. \(\sqrt[3]{4}.\)

C. \(2.\)

D. \(4.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688599

Phương pháp giải

- Chuyển \(f\left( x \right)\) và các biểu thức liên quan đến \(f\left( x \right)\) về một vế.

- Biến đổi giả thuyết sử dụng tính chất đạo hàm của một tích.

- Nguyên hàm hai vế và sử dụng \(f'\left( 1 \right) = \dfrac{1}{3},f\left( 1 \right) = 2\) để tìm hàm \(f\left( x \right)\) hoàn chỉnh. Từ đó tính \(f\left( 2 \right).\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f''\left( x \right)f\left( x \right) + 2{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = \dfrac{{2x}}{{f\left( x \right)}} \Leftrightarrow f''\left( x \right).{f^2}\left( x \right) + 2.{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}.f\left( x \right) = 2x\\ \Leftrightarrow {\left[ {f'\left( x \right).{f^2}\left( x \right)} \right]^\prime } = 2x \Rightarrow f'\left( x \right).{f^2}\left( x \right) = \int {2xdx} = {x^2} + C\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Thay \(x = 1\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(f'\left( 1 \right).{f^2}\left( 1 \right) = 1 + C \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{.2^2} = 1 + C \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right).{f^2}\left( x \right) = {x^2} + \dfrac{1}{3} \Rightarrow \int {\left[ {f'\left( x \right).{f^2}\left( x \right)} \right]dx} = \int {\left( {{x^2} + \dfrac{1}{3}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{f^3}\left( x \right)}}{3} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{x}{3} + {C_1}\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Thay \(x = 1\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(\dfrac{{{2^3}}}{3} = \dfrac{{{1^3}}}{3} + \dfrac{1}{3} + {C_1} \Leftrightarrow {C_1} = 2.\)

Do đó: \(\dfrac{{{f^3}\left( x \right)}}{3} = \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{x}{3} + 2 \Rightarrow {f^3}\left( x \right) = {x^3} + x + 6\)\( \Rightarrow {f^3}\left( 2 \right) = {2^3} + 2 + 6 = 16 \Rightarrow f\left( 2 \right) = \sqrt[3]{{16}}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.