Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) cố định, \(C\) là một điểm chạy

Câu hỏi số 688617:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) cố định, \(C\) là một điểm chạy trên đường tròn \(\left( O \right)\) không trùng với \(A\) và \(B.\) Các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A\) và \(C\) cắt nhau tại điểm \(M.\) Đường thẳng \(MB\) cắt \(AC\) tại \(F\) và cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\) (\(E\) khác \(B\)).

a) Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC.\) Chứng minh tam giác \(OEM\)đồng dạng với tam giác \(BHM.\)

b) Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên đường thẳng \(AB.\) Hai đường thẳng \(MB\) và \(CK\) cắt nhau tại \(I.\) Tính tỷ số \(\dfrac{{FI}}{{AB}}\) khi tổng diện tích hai tam giác \(IAC\) và \(IBC\) lớn nhất.

c) Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{{BM}} + \dfrac{1}{{BF}} = \dfrac{2}{{BE}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688617

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Ta có \(ME.MB = M{A^2}\) do \(\Delta MAB\) vuông tại A có đường cao AE.

Lại có \(MH.MO = M{A^2}\) do \(\Delta MAO\) vuông tại A có đường cao AH.

\( \Rightarrow ME.MB = MH.MO\)

\( \Rightarrow \dfrac{{ME}}{{MH}} = \dfrac{{MO}}{{MB}}\)\( \Rightarrow \Delta OME\)~\(\Delta BMH\)

b) Ta có\(MA = MC,\,\,OA = OC\) suy ra đường thẳng \(MO\) là trung trực đoạn thẳng \(AC\)nên \(MO \bot AC\).

Kéo dài \(BC\) cắt \(AM\) tại \(P\) nên \(MO//PB\)\( \Rightarrow M\) trung điểm \(AP.\)

Ta có \(\dfrac{{IC}}{{MP}} = \dfrac{{BI}}{{BM}}\) và \(\dfrac{{IK}}{{MA}} = \dfrac{{BI}}{{BM}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{IC}}{{MP}} = \dfrac{{IK}}{{MA}} \Rightarrow IC = IK\)

Suy ra \(I\) trung điểm của đoạn thẳng \(CK\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ACI}} = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta ACK}};{S_{\Delta BCI}} = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta BCK}}\,\, \Rightarrow {S_{\Delta AIC}} + {S_{\Delta BCI}} = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta ABC}}\, = \dfrac{1}{4}CK.AB\)

Do đoạn thẳng \(AB\) không đổi nên tổng diện tích hai tam giác \(IAC\) và \(IBC\)lớn nhất, lớn nhất khi \(C\) điểm chính giữa cung \(AB\) hay \(K\) trùng tâm \(O.\)

Khi đó tứ giác \(AOCM\) là hình vuông.

\( \Rightarrow \dfrac{{FI}}{{FM}} = \dfrac{{IC}}{{AM}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow FI = \dfrac{1}{3}IM = \dfrac{1}{6}BM.\)

Lại có \(B{M^2} = A{B^2} + M{A^2} = \dfrac{{5A{B^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow BM = \dfrac{{AB\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow \dfrac{{FI}}{{AB}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{\dfrac{{AB\sqrt 5 }}{2}}}{{AB}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{{12}}.\)

c) Ta có

\(\Delta MEC\)~\(\Delta MCB \Rightarrow \dfrac{{ME}}{{MC}} = \dfrac{{CE}}{{CB}}\)

\(\Delta MEA\)~\(\Delta MAB \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{EA}}{{AB}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{ME}}{{MC}}.\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{CE}}{{CB}}.\dfrac{{EA}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{{ME}}{{MB}} = \dfrac{{CE}}{{CB}}.\dfrac{{AE}}{{AB}}\,\,(1).\)

Mặt khác

\(\Delta FEC\)~\(\Delta FAB \Rightarrow \dfrac{{FE}}{{FA}} = \dfrac{{CE}}{{AB}}\)

\(\Delta FAE\)~\(\Delta FBC \Rightarrow \dfrac{{FA}}{{FB}} = \dfrac{{AE}}{{BC}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{FE}}{{FA}}.\dfrac{{FA}}{{FB}} = \dfrac{{CE}}{{AB}}.\dfrac{{EA}}{{CB}} \Rightarrow \dfrac{{FE}}{{FB}} = \dfrac{{CE}}{{CB}}.\dfrac{{AE}}{{AB}}\,\,(2).\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \dfrac{{ME}}{{MB}} = \dfrac{{FE}}{{FB}}\,\,\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MB - EB}}{{MB}} = \dfrac{{EB - FB}}{{FB}}\,\, \Rightarrow 1 - \dfrac{{EB}}{{MB}} = \dfrac{{EB}}{{FB}} - 1 \Rightarrow 2 = \,\dfrac{{EB}}{{MB}} + \dfrac{{EB}}{{FB}}\)

\( \Rightarrow 2 = EB\left( {\dfrac{1}{{MB}} + \dfrac{1}{{FB}}} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{{BM}} + \dfrac{1}{{BF}} = \dfrac{2}{{BE}}\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link