a) Tìm tất cả các số thực \(x\) để \(p = \dfrac{5}{{x - \sqrt x + 2}}\) là số nguyên. b) Chứng

Câu hỏi số 688616:

Vận dụng cao

a) Tìm tất cả các số thực \(x\) để \(p = \dfrac{5}{{x - \sqrt x + 2}}\) là số nguyên.

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\) lớn hơn 1 thì \(A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1\) không phải là số nguyên tố.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:688616

Phương pháp giải

a) Ta tách \(p = \dfrac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = \dfrac{5}{{{{\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{7}{4}}}\)

b) Chứng minh A chia hết cho một số khác 1 và chính nó.

Giải chi tiết

a) Ta có \(p = \dfrac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = \dfrac{5}{{{{\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{7}{4}}}\)

\( \Rightarrow 0 < p \le \dfrac{5}{{\dfrac{7}{4}}} = \dfrac{{20}}{7} \Rightarrow p = 1;\,\,2\)

TH1: \(p = 1 \Leftrightarrow \dfrac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = 1 \Leftrightarrow x - \sqrt x - 3 = 0 \Rightarrow \sqrt x = \dfrac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow x = \dfrac{{7 + \sqrt {13} }}{2}.\)

TH2: \(p = 2 \Leftrightarrow \dfrac{5}{{x - \sqrt x + 2}} = 2 \Leftrightarrow 2x - 2\sqrt x - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt x = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2} \Rightarrow x = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{2}.\)

Vậy có hai giá trị cần tìm là \(x = \dfrac{{7 + \sqrt {13} }}{2};\,\,\dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{2}.\)

b) Ta có \(A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1 = \left( {{n^{2024}} - {n^2}} \right) + \left( {{n^{2023}} - n} \right) + \left( {{n^4} + {n^2} + 1} \right)\)

\( = {n^2}\left( {{n^{2022}} - 1} \right) + n\left( {{n^{2022}} - 1} \right) + \left( {{n^4} + {n^2} + 1} \right) = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^{2022}} - 1} \right) + \left( {{n^4} + {n^2} + 1} \right)\)

Ta có \(\left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^{2022}} - 1} \right) = \left( {{n^2} + n} \right)\left[ {{{\left( {{n^3}} \right)}^{674}} - 1} \right]\)

\( = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {{n^3} - 1} \right).B = \left( {{n^2} + n} \right)\left( {n - 1} \right)\left( {{n^2} + n + 1} \right).B\) chia hết cho \({n^2} + n + 1\)

Lại có \({n^4} + {n^2} + 1 = {n^4} + 2{n^2} + 1 - {n^2} = {\left( {{n^2} + 1} \right)^2} - {n^2}\)

\( = \left( {{n^2} + n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right)\) chia hết cho \({n^2} + n + 1\)

Vậy \(A = {n^{2024}} + {n^{2023}} + {n^4} - n + 1\) chia hết cho \({n^2} + n + 1\) với mọi số tự nhiên \(n\) lớn hơn 1 nên \(A\) không phải là số nguyên tố.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link