a) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left( {x + \sqrt {{x^2} - x + 1} } \right) = 1 - y

Câu hỏi số 690373:

Vận dụng cao

a) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\left( {x + \sqrt {{x^2} - x + 1} } \right) = 1 - y + \sqrt {{y^2} + 3} }\\{{y^2} - 2\left( {x - 2} \right) = 3\sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} + 2x} \right)} }\end{array}{\rm{\;}}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)} \right.\).
b) Bạn An viết lên trên bảng 11 số nguyên dương (không nhất thiết phân biệt) có tổng bằng 30. Chứng minh rằng bạn An có thể xóa đi một số số sao cho các số còn lại trên bảng có tổng bằng 10 .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690373

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} + 2x} \right) \ge 0\).
Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2x - 1 + \sqrt {{{(2x - 1)}^2} + 3} = \left( { - y} \right) + \sqrt {{{( - y)}^2} + 3} \). Đặt \(a = 2x - 1;b = - y\) ta có \(a + \sqrt {{a^2} + 3} = b + \sqrt {{b^2} + 3} \Leftrightarrow a - b + \left( {\sqrt {{a^2} + 3} - \sqrt {{b^2} + 3} } \right) = 0\) \( \Leftrightarrow a - b + \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{\sqrt {{a^2} + 3} + \sqrt {{b^2} + 3} }} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {1 + \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {{a^2} + 3} + \sqrt {{b^2} + 3} }}} \right] = 0\)

\(\; \Leftrightarrow a - b = 0\left( {{\rm{do}}\,\,{\rm{\;}}1 + \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {{a^2} + 3} + \sqrt {{b^2} + 3} }} = \dfrac{{a + \sqrt {{a^2} + 3} + b + \sqrt {{b^2} + 3} }}{{\sqrt {{a^2} + 3} + \sqrt {{b^2} + 3} }} > 0,\forall a,b} \right)\)

\(\; \Leftrightarrow 1 - 2x = y \Leftrightarrow 2x = 1 - y.\)

Thay \(1 - 2x = y\), vào phương trình \(\left( 2 \right)\), ta được:

\(\;\left( 2 \right) \Leftrightarrow {y^2} + y + 3 = 3\sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} - y + 1} \right)} {\rm{.\;}}\) Điều kiện: \(y \ge - 1\)

\(\; \Leftrightarrow \left( {{y^2} - y + 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 3\sqrt {\left( {y + 1} \right)\left( {{y^2} - y + 1} \right)} \)

\(\; \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {y + 1} \right)}}{{{y^2} - y + 1}} - 3\sqrt {\dfrac{{y + 1}}{{{y^2} - y + 1}}} + 1 = 0\)

Đặt \(t = \sqrt {\dfrac{{y + 1}}{{{y^2} - y + 1}}} ,\left( {t \ge 0} \right)\), ta có phương trình: \(2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn)

Với \(t = 1 \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{{y + 1}}{{{y^2} - y + 1}}} = 1 \Leftrightarrow {y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}}\\{y = 2 \Rightarrow x = - \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

\(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( {\dfrac{1}{2};0} \right);\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right);\left( { - \dfrac{{3 + \sqrt {37} }}{4};\dfrac{{5 + \sqrt {37} }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{ - 3 + \sqrt {37} }}{4};\dfrac{{5 - \sqrt {37} }}{2}} \right)} \right\}.\)

b) Giả sử các số nguyên dương (không nhất thiết phân biệt) bạn An viết lên bảng là \({a_1},{a_2}, \cdots ,{a_{11}}\) thỏa mãn \({a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{11}} = 30\).
Gọi \({S_1} = {a_1},{S_2} = {a_1} + {a_2}, \cdots ,{S_{10}} = {a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{10}},{S_{11}} = {a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{10}} + {a_{11}}\).
Ta có \(1 \le {S_i} \le 30,\forall i = \overline {1,11} \) và \({S_i} \ne {S_j}\) với mọi \(i \ne j;i,j = \overline {1,11} \).
Chia các tổng \({S_1},{S_2}, \cdots ,{S_{11}}\) cho 10 , có ít nhất 2 số có cùng số dư.
Giả sử \({S_k},{S_m}\left( {{S_k} > {S_m}} \right)\) có cùng số dư khi chia cho 10. Khi đó \({S_k} - {S_m} \vdots 10\).
Mà \(1 \le {S_k},{S_m} \le 30\) nên \({S_k} - {S_m} = 10\) hoặc \({S_k} - {S_m} = 20\).

+) Nếu \({S_k} - {S_m} = 10\) thì các số \({a_{m + 1}},{a_{m + 2}}, \cdots ,{a_k}\) còn lại trên bảng thỏa mãn điều kiện.

+) Nếu \({S_k} - {S_m} = 20\) thì \({a_{m + 1}} + {a_{m + 2}} + \cdots + {a_k} = 20\) nên các số \({a_1},{a_2}, \cdots ,{a_m},{a_{k + 1}},{a_{k + 2}}, \cdots ,{a_{11}}\)
là các số còn lại trên bảng thỏa mãn điều kiện.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link