Cho hình vuông \(ABCD\)cạnh \(AB = 16\;{\rm{cm}}\), lấy điểm \(H\) bất kỳ trên cạnh \(BC\) \((H\) khác

Câu hỏi số 692199:

Vận dụng cao

Cho hình vuông \(ABCD\)cạnh \(AB = 16\;{\rm{cm}}\), lấy điểm \(H\) bất kỳ trên cạnh \(BC\) \((H\) khác \(B\) và \(C)\), qua \(B\) kẻ đường thẳng \((d)\) vuông góc với \(DH\) tại \(M\), gọi \(K\) là giao điểm của \(CD\) và \((d)\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(BMCD\) nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng \(KH\) vuông góc với \(BD\).

c) Gọi \(x,y\) lần lượt là diện tích của các tam giác \(HAB\) và \(HCD\). Xác định vị trí của điểm

\(H\) trên cạnh \(BC\) để \({x^2} + {y^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:692199

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle {BMD} = \angle {BCD} = 90^\circ \) (gt).

Mà hai đỉnh \(M,C\) kề nhau cùng nhìn \(BD\) dưới một góc \(90^\circ \).

\( \Rightarrow BMCD\) nội tiếp đường tròn đường kính BD (đpcm).

b) Xét tam giác BDK có:

\(\begin{array}{l}BC \bot CD \Rightarrow BC \bot DK\\DH \bot d \Rightarrow DM \bot BK\\BC \cap DM = H\end{array}\)

\( \Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác \(BDK\).

\( \Rightarrow KH \bot BD\) (đpcm)

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}x = {S_{{\rm{AHB }}}} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BH = \dfrac{1}{2} \cdot 16 \cdot BH = 8BH\\y = {S_{{\rm{NHCD }}}} = \dfrac{1}{2}CD \cdot CH = \dfrac{1}{2} \cdot 16 \cdot CH = 8CH\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 64\left( {B{H^2} + C{H^2}} \right)\end{array}\)

Đặt \(BH = k\,\,(0 < k < 16) \Rightarrow CH = 16 - k\).

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}B{H^2} + C{H^2} = {k^2} + {(16 - k)^2} = 2{k^2} - 32k + 256\\ = 2\left( {{k^2} - 16k + 64} \right) + 128 = 2{(k - 8)^2} + 128 \ge 128{\rm{ }}\forall 0 < k < 16\\ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 64.128 = 8192.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(k - 8 = 0 \Leftrightarrow k = 8\).

Vậy \({x^2} + {y^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8192 khi \({\rm{k}} = 8\) hay \({\rm{H}}\) là trung điểm của \({\rm{BC}}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link