Cho hình lăng trụ đều \(ABC . A'B'C'\), tất cả các cạnh có độ dài bằng
Cho hình lăng trụ đều \(ABC . A'B'C'\), tất cả các cạnh có độ dài bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(BC'\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi N là trung điểm của \(\mathrm{CC}^{\prime}\). Khi đó
\(d\left(A M,B C^{\prime}\right)=d\left(B C^{\prime},(A M N)\right)=d(B,(A M N))=d(C,(A M N))\).
Gọi N là trung điểm của \(\mathrm{CC}^{\prime} \Rightarrow M N\) là đường trung bình của tam giác \(\mathrm{BCC}^{\prime}\).
\(\Rightarrow M N / / B C^{\prime} \Rightarrow B C^{\prime} / /(A M N) \supset A M .\)
Khi đó ta có
\(d\left(A M,B C^{\prime}\right)=d\left(B C^{\prime},(A M N)\right)=d(B,(A M N))\).
Ta có: \(B C \cap(A M N)=M \Rightarrow \dfrac{d(B ;(A M N))}{d(C ;(A M N))}=\dfrac{B M}{C M}=1\)
\(\Rightarrow d(B ;(A M N))=d(C ;(A M N))\)
Trong (BCC'B') kẻ \(C H \perp M N(H \in M N)\) ta có:
\(\left\{\begin{array}{l} A M \perp C M \\ A M \perp C N \end{array} \right.\) \(\Rightarrow A M \perp\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right) \Rightarrow A M \perp C H \)
\(\left\{\begin{array}{l} C H \perp A M \\ C H \perp M N \end{array} \right.\) \(\Rightarrow C H \perp(A M N) \Rightarrow d(C ;(A M N))=C H\)
\(\Rightarrow d\left(A M ; B C^{\prime}\right)=C H\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CMN có:
\(C H=\dfrac{C M \cdot C N}{\sqrt{C M^2+C N^2}}=\dfrac{\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}}=\dfrac{a \sqrt{2}}{4}\).
Vậy \(d\left(AM, B C^{\prime}\right)=\dfrac{a \sqrt{2}}{4}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
