Cho hình lăng trụ đều \(ABC . A'B'C'\), tất cả các cạnh có độ dài bằng

Câu hỏi số 695436:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đều \(ABC . A'B'C'\), tất cả các cạnh có độ dài bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(BC'\).

A. \(\dfrac{a}{2}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

C. \(\dfrac{a}{4}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:695436

Phương pháp giải

Gọi N là trung điểm của \(\mathrm{CC}^{\prime}\). Khi đó

\(d\left(A M,B C^{\prime}\right)=d\left(B C^{\prime},(A M N)\right)=d(B,(A M N))=d(C,(A M N))\).

Giải chi tiết

Gọi N là trung điểm của \(\mathrm{CC}^{\prime} \Rightarrow M N\) là đường trung bình của tam giác \(\mathrm{BCC}^{\prime}\).
\(\Rightarrow M N / / B C^{\prime} \Rightarrow B C^{\prime} / /(A M N) \supset A M .\)
Khi đó ta có
\(d\left(A M,B C^{\prime}\right)=d\left(B C^{\prime},(A M N)\right)=d(B,(A M N))\).
Ta có: \(B C \cap(A M N)=M \Rightarrow \dfrac{d(B ;(A M N))}{d(C ;(A M N))}=\dfrac{B M}{C M}=1\)
\(\Rightarrow d(B ;(A M N))=d(C ;(A M N))\)
Trong (BCC'B') kẻ \(C H \perp M N(H \in M N)\) ta có:
\(\left\{\begin{array}{l} A M \perp C M \\ A M \perp C N \end{array} \right.\) \(\Rightarrow A M \perp\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right) \Rightarrow A M \perp C H \)
\(\left\{\begin{array}{l} C H \perp A M \\ C H \perp M N \end{array} \right.\) \(\Rightarrow C H \perp(A M N) \Rightarrow d(C ;(A M N))=C H\)
\(\Rightarrow d\left(A M ; B C^{\prime}\right)=C H\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CMN có:
\(C H=\dfrac{C M \cdot C N}{\sqrt{C M^2+C N^2}}=\dfrac{\frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}}=\dfrac{a \sqrt{2}}{4}\).
Vậy \(d\left(AM, B C^{\prime}\right)=\dfrac{a \sqrt{2}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.