Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để tồn tại cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn

Câu hỏi số 696653:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để tồn tại cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({{\rm{e}}^{3x + 5y}} - {{\rm{e}}^{x + 3y + 1}} = 1 - 2x - 2y\), đồng thời thỏa mãn \({\rm{log}}_3^2\left( {3x + 2y - 1} \right) - \left( {m + 6} \right){\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x + {m^2} + 9 = 0\).

A. \(1 \le m \le 5\).

B. \(0 \le m \le 4\).

C. \( - 4 \le m \le 0\).

D. \(0 < m \le 4\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:696653

Giải chi tiết

Ta có \({{\rm{e}}^{3x + 5y}} - {{\rm{e}}^{x + 3y + 1}} = 1 - 2x - 2y \Leftrightarrow {{\rm{e}}^{3x + 5y}} + (3x + 5y) = {{\rm{e}}^{x + 3y + 1}} + (x + 3y + 1)\).

Xét hàm số \(f(t) = {{\rm{e}}^t} + t\) trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \({f^\prime }(t) = {{\rm{e}}^t} + 1 > 0,\forall t\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \({{\rm{e}}^{3x + 5y}} + (3x + 5y) = {{\rm{e}}^{x + 3y + 1}} + (x + 3y + 1)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f(3x + 5y) = f(x + 3y + 1)\\ \Leftrightarrow 3x + 5y = x + 3y + 1\\ \Leftrightarrow 2y = 1 - 2x.\end{array}\)

Thế vào phương trình còn lại ta được: \(\log _3^2x - (m + 6){\log _3}x + {m^2} + 9 = 0\).

Đặt \(t = {\log _3}x\), phương trình có dạng: \({t^2} - (m + 6)t + {m^2} + 9 = 0\).

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow - 3{m^2} + 12m \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 4\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.