Xét các số thực không âm \(x\) và \(y \ne 0\) thỏa mãn \({y^2}{\log _2}\left( {2x + {y^2} + 4} \right) =

Câu hỏi số 697014:

Vận dụng cao

Xét các số thực không âm \(x\) và \(y \ne 0\) thỏa mãn \({y^2}{\log _2}\left( {2x + {y^2} + 4} \right) = \left( {{x^2} + 2x + {y^2}} \right){\log _2}\left( {x + 2} \right)\). Khi biểu thức \(6x - {y^2}\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(3x - 2{y^2}\) bằng

A. 3.

B. 2.

C. -10.

D. -1.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697014

Giải chi tiết

Ta có: \({y^2}{\log _2}\left( {2x + {y^2} + 4} \right) = \left( {{x^2} + 2x + {y^2}} \right){\log _2}\left( {x + 2} \right)\)

\(\begin{array}{l}{y^2}{\log _2}\left( {2x + {y^2} + 4} \right) - {y^2}{\log _2}\left( {x + 2} \right) = \left( {{x^2} + 2x} \right){\log _2}\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {y^2}{\log _2}\dfrac{{2\left( {x + 2} \right) + {y^2}}}{{x + 2}} = x\left( {x + 2} \right){\log _2}\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {y^2}{\log _2}\left( {2 + \dfrac{{{y^2}}}{{x + 2}}} \right) = x\left( {x + 2} \right){\log _2}\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{y^2}}}{{x + 2}}.{\log _2}\left( {\dfrac{{{y^2}}}{{x + 2}} + 2} \right) = x{\log _2}\left( {x + 2} \right) & \left( * \right)\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = t{\log _2}\left( {t + 2} \right),\,\,t > 0\)

\(f'\left( t \right) = {\log _2}\left( {t + 2} \right) + \dfrac{t}{{\left( {t + 2} \right)\ln 2}} > 0,\,\,\forall t > 0\)

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{{y^2}}}{{x + 2}} = x \Leftrightarrow {y^2} = {x^2} + 2x\)

Khi đó \(T = 6x - {y^2} = 6x - {x^2} - 2x = - {x^2} + 4x - 4 + 4 = - {\left( {x - 2} \right)^2} + 4 \le 4\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 2 \Rightarrow {y^2} = 8\)

Vậy \(3x - 2{y^2} = - 10\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.