Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^{3} - \dfrac{1}{2}mx^{2} - 4x - 10$, với $m$ là tham số; gọi $x_{1},x_{2}$ là

Câu hỏi số 697229:

Thông hiểu

Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^{3} - \dfrac{1}{2}mx^{2} - 4x - 10$, với $m$ là tham số; gọi $x_{1},x_{2}$ là các điểm cực trị của hàm số đã cho. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \left( {x_{1}^{2} - 1} \right)\left( {x_{2}^{2} - 1} \right)$

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697229

Phương pháp giải

Sử dụng Vi – ét.

Giải chi tiết

Tập xác định $D = {\mathbb{R}}$.

Đạo hàm $y' = x^{2} - mx - 4$.

Khi đó $\left. y' = 0\Leftrightarrow x^{2} - mx - 4 = 0 \right.$.

Ta có $\left. \Delta\ \ = m^{2} + 16 > 0,\forall m \in {\mathbb{R}}\Rightarrow y' = 0 \right.$ luôn có hai nghiệm phân biệt $\forall m \in {\mathbb{R}}$ hay hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_{1},x_{2}\forall m \in {\mathbb{R}}$.

Do $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm phân biệt của $y' = 0$ nên theo định lý Viet ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = m} \\ {x_{1} \cdot x_{2} = \ \ - 4} \end{array} \right.$.

$P = \left( {x_{1}^{2} - 1} \right)\left( {x_{2}^{2} - 1} \right) = \left( {x_{1}x_{2}} \right)^{2} - \left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right) + 1 = \left( {x_{1}x_{2}} \right)^{2} - \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} + 2x_{1}x_{2} + 1$

$= 16 - m^{2} - 8 + 1 = \ \ - m^{2} + 9 \leq 9,\forall m \in {\mathbb{R}}.$

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ bằng $\left. 9\Leftrightarrow m = 0 \right.$.

Đáp án cần điền là: 9

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.