Cho hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - my = - 9}&{\left( 1 \right)}\\{mx + 2y =

Câu hỏi số 697448:

Vận dụng

Cho hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - my = - 9}&{\left( 1 \right)}\\{mx + 2y = 16}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\). Xác định giá trị nguyên của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x + y = 7\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697448

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Tìm nghiệm duy nhất của hệ phương trình sau đó thay vào biểu thức bài cho để tìm \(m.\)
Đối chiếu với điều kiện có nghiệm của hệ phương trình.

Giải chi tiết

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - my = - 9}\\{mx + 2y = 16}\end{array}} \right.\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{(1)}\\{(2)}\end{array}\)

Từ phương trình \(\left( 2 \right) \Rightarrow y = \dfrac{{16 - mx}}{2}\)
Thế vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được:

\(\;\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3x - \dfrac{{m\left( {16 - mx} \right)}}{2} = - 9\)

\(\; \Leftrightarrow 6x - 16m + {m^2}x = - 18\)

\(\; \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 6} \right)x = 16m - 18\)

Ta có: \({m^2} + 6 \ne 0{\rm{\;}}\forall m \Rightarrow \left( {\rm{*}} \right)\) luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(m\).
\( \Rightarrow \) Hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(m\).

\(\;(*) \Leftrightarrow x = \dfrac{{16m - 18}}{{{m^2} + 6}}\)

\(\; \Rightarrow y = \dfrac{{16 - mx}}{2} = \dfrac{{16 - \dfrac{{m\left( {16m - 18} \right)}}{{{m^2} + 6}}}}{2}\)

\(\; = \dfrac{{16\left( {{m^2} + 6} \right) - 16{m^2} + 18m}}{{2\left( {{m^2} + 6} \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{18m + 96}}{{2\left( {{m^2} + 6} \right)}} = \dfrac{{9m + 48}}{{{m^2} + 6}}.\)

Theo đề bài ta có: \(x + y = 7\)

\(\; \Rightarrow \dfrac{{16m - 18}}{{{m^2} + 6}} + \dfrac{{9m + 48}}{{{m^2} + 6}} = 7\)

\(\; \Leftrightarrow 25m + 30 = 7{m^2} + 42\)

\(\; \Leftrightarrow 7{m^2} - 25m + 12 = 0\)

\(\; \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {7m - 4} \right) = 0\)

\(\; \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 3 = 0}\\{7m - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 3}\\{m = \dfrac{4}{7}}\end{array}} \right.} \right.\)

Lại có \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 3\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link