Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm \(A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {3;4;1} \right),C\left( { - 5;2;1}

Câu hỏi số 697900:

Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {3;4;1} \right),C\left( { - 5;2;1} \right)$. Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa trục hoành sao cho $A,B,C$ nằm về cùng phía đối với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và ${d_1},{d_2},{d_3}$ lần lượt là khoảng cách từ $A,B,C$ đến $\left( \alpha \right)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T = {d_1} + 2{d_2} + 3{d_3}$ bằng $a\sqrt b $ (với $a \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}},b$ là số nguyên tố). Tính $S = 3a + 2b$.

A. 25 .

B. 38 .

C. 28 .

D. 47 .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697900

Phương pháp giải

Chứng minh $T=d_1+2 d_2+3 d_3=\left(d_1+d_2\right)+\left(d_2+d_3\right)+2 d_3=2[d(M,(\alpha))+d(N,(\alpha))+d(C,(\alpha))]$. Từ đó suy ra T lớn nhất khi hình chiếu của $G$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ trùng với hình chiếu của $G$ trên trục hoành.

Giải chi tiết

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A B, B C \Rightarrow M(2 ; 1 ; 2), N(-1 ; 3 ; 1)$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $M N C \Rightarrow G\left(-\dfrac{4}{3} ; 2 ; \dfrac{4}{3}\right)$

Gọi $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ lần lượt là hình chiếu của $A, B, C$ trên $(\alpha) ; H, K$ lần lượt là hình chiếu của $M, N$ trên $(\alpha)$.

Ta có $A B B^{\prime} A^{\prime}$ là hình thang, $M$ là trung điểm $A B$ nên $H$ là trung điểm của $A^{\prime} B^{\prime}$ nên

$M H=\dfrac{A A^{\prime}+B B^{\prime}}{2} \Rightarrow d_1+d_2=A A^{\prime}+B B^{\prime}=2 M H=2 d(M,(\alpha)) ;$

Ta có $B C C^{\prime} B^{\prime}$ là hình thang, $N$ là trung điểm $B C$ nên $K$ là trung điểm của $B^{\prime} C^{\prime}$ nên

$N K=\dfrac{B B^{\prime}+C C^{\prime}}{2} \Rightarrow d_2+d_3=B B^{\prime}+C C^{\prime}=2 N K=2 d(N,(\alpha))$.

Gọi $G^{\prime}$ là hình chiếu của $G$ trên mặt phẳng $(\alpha)$.

Do tam giác $H K C^{\prime}$ là hình chiếu của tam giác $M N C$ trên mặt phẳng $(\alpha)$ nên $G^{\prime}$ là trọng tâm của tam giác $H K C^{\prime}$. Tương tự, ta chứng minh được

$T=d_1+2 d_2+3 d_3=\left(d_1+d_2\right)+\left(d_2+d_3\right)+2 d_3=2[d(M,(\alpha))+d(N,(\alpha))+d(C,(\alpha))]$

$=2.3 d(G,(\alpha))=6 d(G,(\alpha)) \leq 6 d(G, O x)=6 \cdot \dfrac{2 \sqrt{13}}{3}=4 \sqrt{13}$.

Dấu bằng xảy ra khi hình chiếu của $G$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ trùng với hình chiếu của $G$ trên trục hoành.

Vậy $\max T=4 \sqrt{13} \Rightarrow a=4, b=13 \Rightarrow S=3 a+2 b=38$.

Lưu ý, ta có thể tìm $G$ thoả mãn $\overrightarrow{G A}+2 \overrightarrow{G B}+3 \overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$, từ đó có $T=d_1+2 d_2+3 d_3=6 d(G,(P))$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.