Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau.Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để

Câu hỏi số 698404:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau.

Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để phương trình \(f\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right) + x + 3 - 4\sqrt {x - 1} = m\) có hai nghiệm phân biệt?

A. 7.

B. 8.

C. 0.

D. 4.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:698404

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Vì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \(\left( { - 1\,;\,3} \right)\) và \(\left( {1\,;\, - 1} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 3\\f\left( 1 \right) = - 1\\f'\left( { - 1} \right) = 0\\f'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 1} \right)^3} + b.{\left( { - 1} \right)^2} + c.\left( { - 1} \right) + d = 3\\a{.1^3} + b{.1^2} + c.1 + d = - 1\\3a.{\left( { - 1} \right)^2} + 2b.\left( { - 1} \right) + c = 0\\3a{.1^2} + 2b.1 + c = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c + d = 3\\a + b + c + d = - 1\\3a - 2b + c = 0\\3a + 2b + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = - 3\\d = 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\).

Xét phương trình \(f\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right) + x + 3 - 4\sqrt {x - 1} = m\,\,\,\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right) + {\left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right)^2} = m\,\,\,\left( 2 \right)\).

Đặt \(t = \sqrt {x - 1} - 1\), vì \(\sqrt {x - 1} \ge 0\), suy ra \(t \ge - 1\). Ta có phương trình \(\left( 2 \right)\) trở thành:

\(f\left( t \right) + {\left( {t - 1} \right)^2} = m\)\( \Leftrightarrow \left( {{t^3} - 3t + 1} \right) + \left( {{t^2} - 2t + 1} \right) = m\)\( \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} - 5t + 2 = m\,\,\,\left( 3 \right)\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = {t^3} + {t^2} - 5t + 2\) với \(t \in \left[ { - 1\,;\, + \infty } \right)\), ta có \(g'\left( t \right) = 3{t^2} + 2t - 5\), \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left[ { - 1\,;\, + \infty } \right)\\t = - \dfrac{5}{3} \notin \left[ { - 1\,;\, + \infty } \right)\end{array} \right.\).

Bảng biên thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên, để \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình \(\left( 3 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng \( - 1\). Khi đó \( - 1 < m \le 7\), mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7} \right\}\).

Vậy có \(8\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.