Cho hàm số đa thức \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + 1\), với

Câu hỏi số 698721:

Vận dụng

Cho hàm số đa thức \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + 1\), với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Biết rằng hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} + x + 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và hàm số \(h\left( x \right) = 6f\left( x \right) - 3{x^4} - 2{x^3} + 9{x^2} - 12x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = - 2\), biết tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {0; - 1} \right)\)?

A. \(y = - 3x - 1\).

B. \(y = 3x - 1\).

C. \(y = - 5x - 1\).

D. \(y = 5x - 1\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:698721

Phương pháp giải

Đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \((C)\) của hàm số tại điểm \({{\rm{M}}_0}\left( {{{\rm{x}}_0};{\rm{f}}\left( {{{\rm{x}}_0}} \right)} \right)\).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là:

\(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x - {x_0}} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2{x^2} - x + 1 = {x^3} + \left( {a - 2} \right){x^2} + \left( {b - 1} \right)x + 2\)

\(h'\left( x \right) = 6f'\left( x \right) - 12{x^3} - 6{x^2} + 18x - 12 = - 6{x^3} + 6\left( {a - 1} \right){x^2} + 6\left( {b - 3} \right)x - 6\)

Theo giả thiết ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + \left( {a - 2} \right){x^2} + \left( {b - 1} \right)x + 2}\\{ - 6{x^3} + 6\left( {a - 1} \right){x^2} + 6\left( {b - 3} \right)x - 6}\end{array},\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)} \right.\)

Thay \(x = 1\) vào \(\left( {\rm{*}} \right)\) ta được \(a + b = 0\) \(\left( 2 \right)\).

Do hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và hàm số \(h\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(x = 1\) phải là nghiệp bội chẵn của \(g'\left( x \right)\). và \(h'\left( x \right)\) nên ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g''\left( 1 \right) = 0}\\{h''\left( x \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} + 2\left( {a - 2} \right)x + \left( {b - 1} \right) = 0}\\{ - 18{x^2} + 12\left( {a - 1} \right)x + 6\left( {b - 3} \right) = 0}\end{array} \Rightarrow 2a + b = 2} \right.} \right.\)

Từ (2) và (3) suy ra \(a = 2;b = - 2 \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + 2x + 1\).ọi \({\rm{\Delta }}\) là tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ \(x = - 2\) và đi qua \(M\left( {0; - 1} \right)\) khi đó phương trình của \({\rm{\Delta }}\) là: \(y = f'\left( { - 2} \right)\left( {x - 0} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 5x - 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.