Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)≤ Tìm các giá trị nhỏ nhất của: A=++ dấu "=" xảy ra khi:

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 6998:

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)≤ $\frac{4}{3}$ Tìm các giá trị nhỏ nhất của: A= $\frac{1}{x+1}$ + $\frac{1}{y.+1}$ + $\frac{1}{z+1}$ dấu "=" xảy ra khi:

A. x=y=z= $\frac{1}{3}$

B. x=y=z= $\frac{1}{2}$

C. x=y=z=4

D. x=y=z= $\frac{4}{3}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:6998

Giải chi tiết

3²=( $\sqrt{x+1}$ . $\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ + $\sqrt{y+1}$ . $\frac{1}{\sqrt{y+1}}$ + $\sqrt{z+1}$ . $\frac{1}{\sqrt{z+1}}$ $)^{2}$

≤ A(x+y+z+3)

=> A≥ $\frac{9}{x+y+z+3}$ . Mặt khác giả thiết <=> x²+y²+z²-(x+y+z)≤ $\frac{4}{3}$

Dễ dàng chứng minh được x²+y²+z² ≥ $\frac{1}{3}$ (x+y+z)²nên nếu ta đặt t=x+y+z thì

$\frac{1}{3}$ t²-t≤ $\frac{4}{3}$ <=> 0<t≤4 (vì x,y,z dương).

Hơn nữa hàm số y= $\frac{1}{t+3}$ nghịch biến nên A≥ $\frac{9}{4+3}$ = $\frac{9}{7}$ . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} x+y+z=4\\x+1=y+1=z+1 \end{matrix}\right.$ <=> x=y=z= $\frac{4}{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.