a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\)b) Khảo sát và vẽ đồ

Câu hỏi số 701076:

Thông hiểu

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\)

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - {x^2} + 1}}{x}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:701076

Giải chi tiết

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\)

1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \{ 1\} \).

2) Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = x + \dfrac{1}{{x - 1}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty .\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty {\rm{. }}\)

Do đó, đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{x - 1}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{1}{{x - 1}} = 0.{\rm{ }}\)

Do đó, đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((2; + \infty )\); nghịch biến trên mỗi khoảng \((0;1)\) và \((1;2)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0,{y_{CD}} = - 1\); đạt cực tiểu tại \(x = 2,{y_{CT}} = 3\).

3) Đô thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: \((0; - 1)\).

\( \cdot \) Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

\( \cdot \) Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((0; - 1),\left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right),\left( { - 1; - \dfrac{3}{2}} \right),(2;3),\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}} \right)\) và \(\left( {3;\dfrac{7}{2}} \right)\).

Quan sát đồ thị, đồ thị đó nhận giao điểm I(1;1) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận Hình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - {x^2} + 1}}{x}.\)

1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).

2) Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = - x + \dfrac{1}{x}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \).

Do đó, đường thẳng \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y + x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{x} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (y + x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{1}{x} = 0\).

Do đó, đường thẳng \(y = - x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

- \({y^\prime } = - \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}},{y^\prime } < 0,\forall x \ne 0\)

- Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).

3) Đồ thị

- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm \(( - 1;0),(1;0)\).

\( \cdot \) Đồ thị hàm số không cắt trục tung.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(( - 1;0),(1;0),\left( { - 2;\dfrac{3}{2}} \right),\left( { - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right),\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right),\left( {2; - \dfrac{3}{2}} \right)\).

Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(O(0;0)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy ta được đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - {x^2} + 1}}{x}\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.