Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c= Chứng minh rằng: ++≥3 Dấu "=" xảy ra khi:

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 7012:

Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c= $\frac{3}{4}$ Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}$ + $\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}$ + $\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$ ≥3 Dấu "=" xảy ra khi:

A. a=b=c= $\frac{3}{4}$

B. a=b=c=2

C. a=b=c= $\frac{1}{4}$

D. a=b=c=1

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:7012

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân cho 2 bộ ba số dương ta có:

(x+y+z)( $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ )≥3 $\sqrt[3]{xyz}$ . $\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}$ =9 => $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{z}$ ≥ $\frac{9}{x+y+z}$ (*)

Áp dụng (*) ta có:

P= $\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}$ + $\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}$ + $\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}$

≥ $\frac{9}{\sqrt[3]{a+3b}+\sqrt[3]{b+3c}+\sqrt[3]{c+3a}}$

Áp dụng bất đẳng thức trung bình công-trung bình nhân cho 3 bộ ba số dương ta có:

$\sqrt[3]{(a+3b)1.1}$ ≤ $\frac{a+3b+1+1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ (a+3b+2)

$\sqrt[3]{(b+3c)1.1}$ ≤ $\frac{b+3c+1+1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ (b+3c+2

$\sqrt[3]{(c+3a)1.1}$ ≤ $\frac{c+3a+1+1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ (c+3a+2)

Suy ra $\sqrt[3]{a+3b}$ + $\sqrt[3]{b+3c}$ + $\sqrt[3]{c+3a}$ ≤ $\frac{1}{3}$ [4(a+b+c)+6]

≤ $\frac{1}{3}$ [4. $\frac{3}{4}$ +6]=3

Do đó P≥3; dấu "=" xảy ra <=> $\left\{\begin{matrix} a+b+c=\frac{3}{4}\\a+3b=b+3c=c+3a=1 \end{matrix}\right.$

<=> a=b=c= $\frac{1}{4}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.