Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x{(x + 1)^2}\left( {{x^2} + 2mx + 1} \right)$

Câu hỏi số 701260:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x{(x + 1)^2}\left( {{x^2} + 2mx + 1} \right)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên âm $m$ để hàm số $g(x) = f(2x + 1)$ đồng biến trên khoảng $(3;5)$?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:701260

Phương pháp giải

Đặt $t = 2x + 1$.

Giải chi tiết

Ta có: $g'(x) = 2f'(2x + 1) = 2(2x + 1){(2x + 2)^2}\left[ {{{(2x + 1)}^2} + 2m(2x + 1) + 1} \right]$

Đặt $t = 2x + 1$

Để hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(3;5)$ khi và chỉ khi $g'(x) \ge 0,\forall x \in (3;5)$

$ \Leftrightarrow t\left( {{t^2} + 2mt + 1} \right) \ge 0,\forall t \in (7;11) \Leftrightarrow {t^2} + 2mt + 1 \ge 0,\forall t \in (7;11) \Leftrightarrow 2m \ge \dfrac{{ - {t^2} - 1}}{t},\forall t \in (7;11)$$

Xét hàm số $h(t) = \dfrac{{ - {t^2} - 1}}{t}$ trên [7 ; 11], có $h'(t) = \dfrac{{ - {t^2} + 1}}{{{t^2}}}$.

BBT:

Dựa vào BBT ta có $2m \ge \dfrac{{ - {t^2} - 1}}{t},\forall t \in (7;11) \Leftrightarrow 2m \ge {\max _{[7:1]}}h(t) \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{{50}}{{14}}$

Vì $m \in {\mathbb{Z}^ - } \Rightarrow m \in \{ - 3; - 2; - 1\} $ $ \Rightarrow $có ba giá trị của $m$ thoả mãn.

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.