Cho một hệ cơ học đặt trên mặt phẳng ngang không ma sát như hình vẽ. Hai lò xo lí tưởng có

Câu hỏi số 703291:

Vận dụng cao

Cho một hệ cơ học đặt trên mặt phẳng ngang không ma sát như hình vẽ. Hai lò xo lí tưởng có độ cứng lần lượt là \({k_1} = 20{\rm{ N/m, }}{k_2} = 30{\rm{ N/m}}{\rm{.}}\) Các vật nhỏ có khối lượng \({m_1} = 200g,{\rm{ }}{m_2} = 300g;\) dây nối 2 vật nhẹ, không giãn. Ban đầu hệ cân bằng, các vật nằm yên thì tổng độ giãn của 2 lò xo là 20 cm và khoảng cách giữa hai vật là 5 cm. Cắt dây nối để hai vật dao động điều hòa. Kể từ lúc cắt dây đến khi tốc độ tương đối của hai vật bằng 100 cm/s lần thứ nhất thì khoảng cách giữa chúng gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 5,89 cm.

B. 7,68 cm.

C. 15 cm.

D. 35 cm.

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Xác định biên độ dao động của hai con lắc lò xo bằng độ dãn tại VTCB của chúng.

Viết phương trình dao động của hai con lắc rồi xác định phương trình vận tốc.

Tốc độ tương đối của hai vật \(\Delta v = \left| {{v_2} - {v_1}} \right|\)

Khoảng cách giữa hai vật: \(d = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\)

Giải chi tiết

Tần số góc:

\(\omega = \sqrt {\dfrac{k}{m}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\omega _1} = \sqrt {\dfrac{{{k_1}}}{{{m_1}}}} = \sqrt {\dfrac{{20}}{{0,2}}} = 10\left( {{\rm{rad/s}}} \right)\\{\omega _2} = \sqrt {\dfrac{{{k_2}}}{{{m_2}}}} = \sqrt {\dfrac{{30}}{{0,3}}} = 10\left( {{\rm{rad/s}}} \right)\end{array} \right.\)

Tại vị trí cân bằng: \({k_1}\Delta {\ell _1} = {k_2}\Delta {\ell _2} \Rightarrow 20\Delta {\ell _1} = 30\Delta {\ell _2}\)

Kết hợp: \(\Delta {\ell _1} + \Delta {\ell _2} = 20 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta {\ell _1} = 12\left( {cm} \right) = {A_1}\\\Delta {\ell _2} = 8\left( {cm} \right) = {A_2}\end{array} \right.\)

Chọn gốc tọa độ tại vị trí \({O_1},\) chiều dương hướng sang phải.

Phương trình dao động của các con lắc là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 12\cos \left( {10t} \right)\\{x_2} = 25 + 8\cos \left( {10t - \pi } \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_1} = 120\cos \left( {10t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\\{v_2} = 80\cos \left( {10t - \dfrac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta v = {v_1} - {v_2} = 200\cos \left( {10t + \dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Khi \(\left| {\Delta v} \right| = 100\left( {cm/s} \right) = \dfrac{{\Delta {v_{max}}}}{2}\) lần đầu sau thời gian:

\(t = \dfrac{\alpha }{\omega } = \dfrac{{\pi /6}}{{10}} = \dfrac{\pi }{{60}}\left( s \right)\)

Từ đó thay t vào phương trình của x ta xác định được khoảng cách giữa hai vật là

\(\begin{array}{l}d = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\\ = \left| {25 + 8\cos \left( {10.\dfrac{\pi }{{60}} - \pi } \right) - 12\cos \left( {10.\dfrac{\pi }{{60}}} \right)} \right|\\ \approx 7,68\left( {cm} \right)\end{array}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:703291

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.