Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1; - 12;4} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):y + z +
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1; - 12;4} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):y + z + 4 = 0\) cắt mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 10x + 4z + 5 = 0\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( \omega \right)\). Điểm \(M\) thuộc \(\left( \omega \right)\) sao cho đoạn thẳng \(AM\) ngắn nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi $I, J$ lần lượt là tâm mặt cầu $(S)$ và tâm của đường tròn $(\omega)$. Kė $A H \perp(P)$ tại $H$.
Để $A M$ ngắn nhất $\Leftrightarrow H M$ ngắn nhất. Khi đó $H M=\left|H J-r_{(\omega)}\right|=2 \sqrt{22}$.
Dấu " $=$ " xảy ra khi và chỉ khi $M=H J \cap(\omega)$ và $M$ nằm giữa $H$ và $J$.
Gọi $I, J$ lần lượt là tâm mặt cầu $(S)$ và tâm của đường tròn $(\omega)$.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-5 ; 0 ;-2)$, bán kính $R=2 \sqrt{6}$.
$\Delta I M J$ vuông tại $J$ có $I M^2=I J^2+J M^2 \Leftrightarrow R^2=d^2(I,(P))+r_{(\omega)}^2 \Rightarrow r_{(\omega)}=\sqrt{22}$.
Kė $A H \perp(P)$ tại $H$. Suy ra $A H=d(A,(P))=\dfrac{|-12+4+4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2 \sqrt{2}$.
Vì $H, J$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ và $I$ lên mặt phẳng $(P)$ nên ta tìm được $J(-5 ;-1 ;-3)$ và $H(1 ;-10 ; 6)$. Suy ra $H J=3 \sqrt{22}$.
$\triangle A H M$ vuông tại $H$ có $A M^2=A H^2+H M^2=8+H M^2$.
Để $A M$ ngắn nhất $\Leftrightarrow H M$ ngắn nhất. Khi đó $H M=\left|H J-r_{(\omega)}\right|=2 \sqrt{22}$.
Suy ra $A M_{\min }=\sqrt{8+(2 \sqrt{22})^2}=4 \sqrt{6}$.
Dấu " $=$ " xảy ra khi và chỉ khi $M=H J \cap(\omega)$ và $M$ nằm giữa $H$ và $J$.
Ta có $\overrightarrow{M J}=\dfrac{M J}{H J} \cdot \overrightarrow{H J}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{H J}$ nên ta tìm được tọa độ điểm $M$ là $M(-3 ;-4 ; 0)$.
Vậy độ dài đoạn thẳng $O M=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2+0^2}=5$.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
