Cho hình tứ diện \(ABCD\) có các mặt \(ABC,DBC\) là các tam giác đều cạnh bằng 1 và \(AD =

Câu hỏi số 706669:

Vận dụng

Cho hình tứ diện \(ABCD\) có các mặt \(ABC,DBC\) là các tam giác đều cạnh bằng 1 và \(AD = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) bằng

A. \(\dfrac{4}{{\sqrt {13} }}\).

B. \(\dfrac{3}{{\sqrt {13} }}\).

C. \(\dfrac{2}{{\sqrt {13} }}\).

D. \(\dfrac{1}{{\sqrt {13} }}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:706669

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AM \bot BC\) và \(AM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\(\Delta DBC\) đều \( \Rightarrow DM \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {AMD} \right)\) và \(DM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow \Delta AMD\) đều cạnh bằng \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\({V_{ABCD}} = {V_{B.AMD}} + {V_{C.AMD}} = \dfrac{1}{3}\left( {BC.{S_{AMD}}} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {1.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{16}}\).

Mặt khác \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ACD}} \cdot d\left( {B,\left( {ACD} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {ACD} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ACD}}}}\).

Xét \(\Delta ACD\) có \(AC = DC = 1\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow CN \bot AD\).

Xét \(\Delta ACN\) vuông tại \(N \Rightarrow CN = \sqrt {A{C^2} - A{N^2}} = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {13} }}{4}\).

\({S_{\Delta ACD}} = \dfrac{1}{2}AD . CN = \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} . \dfrac{{\sqrt {13} }}{4} = \dfrac{{\sqrt {39} }}{{16}}\).

\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {ACD} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ACD}}}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16}} \cdot \dfrac{{16}}{{\sqrt {39} }} = \dfrac{3}{{\sqrt {13} }}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.