Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) thỏa mãn \(\left( {\sqrt {1 + {\rm{l}}{{\rm{n}}^2}a} + {\rm{ln}}a}

Câu hỏi số 707454:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) thỏa mãn \(\left( {\sqrt {1 + {\rm{l}}{{\rm{n}}^2}a} + {\rm{ln}}a} \right)\left( {\sqrt {1 + {{(a - 3)}^2}} + a - 3} \right) \le 1\) ?

A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:707454

Giải chi tiết

Do \(a\) nguyên dương nên \({\rm{ln}}a \ge 0 \Rightarrow \sqrt {1 + {\rm{l}}{{\rm{n}}^2}a} + {\rm{ln}}a > 0\).

Ta có \(\left( {\sqrt {1 + {\rm{l}}{{\rm{n}}^2}a} + {\rm{ln}}a} \right)\left( {\sqrt {1 + {{(a - 3)}^2}} + a - 3} \right) \le 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{(a - 3)}^2}} + a - 3 \le \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {\rm{l}}{{\rm{n}}^2}a} + {\rm{ln}}a}}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{(a - 3)}^2}} + \left( {a - 3} \right) \le \sqrt {1 + {\rm{l}}{{\rm{n}}^2}a} - {\rm{ln}}a\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \sqrt {1 + {t^2}} + t\) với \(t \in \mathbb{R}\).

\(f'\left( t \right) = \dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} + 1 > 0\) với mọi \(t\).

Suy ra, hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến.

Vậy \(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow f\left( {a - 3} \right) \le f\left( { - {\rm{ln}}a} \right) \Leftrightarrow a - 3 \le - {\rm{ln}}a \Leftrightarrow a + {\rm{ln}}a \le 3\left( {{\rm{**}}} \right)\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) = t + {\rm{ln}}t\) với \(t > 0\). Ta có \(g'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{t} > 0\) với mọi \(t > 0\). Suy ra, hàm số \(g\left( t \right)\) luôn đồng biến.

Với \(t \ge 3\), ta có \(g\left( t \right) \ge g\left( 3 \right) = 3 + {\rm{ln}}3 > 3\).

Do vậy, (**) không có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 3 .

Thay \(a = 1,a = 2\) vào \(\left( {{\rm{**}}} \right)\) thấy thỏa mãn.

Vậy bất phương trình có hai nghiệm nguyên dương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.