Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A(1;0;3);B( - 1;2;1);C(0;1;4)\). Biết \(H\left( {{x_0};{y_0};{z_0}}

Câu hỏi số 708547:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A(1;0;3);B( - 1;2;1);C(0;1;4)\). Biết \(H\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC. Tính \(P = {x_0} - {y_0}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:708547

Phương pháp giải

Cho hai vecto \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\),\(\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) không cùng phương.

Khi đó, vecto \(\overrightarrow {\rm{w}} = \left( {{y_1}.{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)\) là tích có hướng của hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).

Giải chi tiết

Gọi \(H(a;b;c)\) là trực tâm tam giác A B C thì \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AH} \) đồng phằng

Ta có: \(\overrightarrow {AB} ( - 2;2; - 2) = - 2(1; - 1;1);\overline {AC} = ( - 1;1;1)\);

\(\overrightarrow {CH} = (a;b - 1;c - 4);\overrightarrow {BH} = (a + 1;b - 2;c - 1);\overrightarrow {AH} = (a - 1;b;c - 3)\)

Suy ra \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (4;4;0) = 4(1;1;0)\).

Mặt khác \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]\overrightarrow {AH} = 0}\\{\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b - 1 = 0}\\{a - b + 1 + c - 4 = 0}\\{ - a - 1 + b - 2 + c - 1 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \dfrac{1}{4}}\\{b = \dfrac{3}{4}}\\{c = \dfrac{7}{2}}\end{array} \Rightarrow P = - \dfrac{1}{2}} \right.\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.