Cho hàm số \(y = \dfrac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \dfrac{2}{3}\). Nối các mệnh

Câu hỏi số 708605:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{2}{3}{x^3} - m{x^2} - 2\left( {3{m^2} - 1} \right)x + \dfrac{2}{3}\). Nối các mệnh đề của cột A vào các mệnh đề tương ứng của cột B.

Xem lời giải

Câu hỏi:708605

Phương pháp giải

\({x_0}\) là điểm cực đọi của hàm số f nếu \((a;b)\) chứa \({x_0}\) thóa mãn điều kiện: \({f_{(x)}} < {f_{\left( {{x_0}} \right)}},\forall x \in (a;b)\backslash 0\). Khi đó, \({\rm{f}}({\rm{x}}0)\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

Giải chi tiết

1 – C; 2 – D; 3 – B

Ta có: \(y' = 2{x^2} - 2mx - 2\left( {3{m^2} - 1} \right) = 2\left( {{x^2} - mx - 3{m^2} + 1} \right)\),

\(g(x) = {x^2} - mx - 3{m^2} + 1;\Delta = 13{m^2} - 4.{\rm{ }}\)

1. Đồ thị hàm số không có cực trị khi và chỉ khi \(\Delta \le 0\) \( \Leftrightarrow 13{m^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow \) \(m \in \left[ { - \dfrac{{2\sqrt {13} }}{{13}};\dfrac{{2\sqrt {13} }}{{13}}} \right]\)

Chọn D.

2. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \(y'\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow g(x)\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \dfrac{{2\sqrt {13} }}{{13}}}\\{m < - \dfrac{{2\sqrt {13} }}{{13}}}\end{array} \cdot \left( * \right)} \right.\)

\({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của \(g(x)\) nên theo định lý Vi-ét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m}\\{{x_1}{x_2} = - 3{m^2} + 1}\end{array}} \right.\).

2. Khi đó \({x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} = - 3\)

\( \Leftrightarrow - 3{m^2} + m + 1 = - 3\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = -1\\m = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)

Tổng các nghiệm bằng \(-1 + \dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3}\).

3. Do đó \({x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 \Leftrightarrow - 3{m^2} + 2m + 1 = 1 \Leftrightarrow - 3{m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = \dfrac{2}{3}}\end{array}} \right.\).

Đối chiếu với điều kiện \(\left( * \right)\), ta thấy chỉ \(m = \dfrac{2}{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.