Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + bc + ca = 3\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{abc}} +
Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + bc + ca = 3\).
Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{abc}} + \dfrac{4}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge \dfrac{3}{2}\)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) để đánh giá VT của bất đẳng thức.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\sqrt[3]{{abc\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \dfrac{{a\left( {b + c} \right) + b\left( {c + a} \right) + c\left( {a + b} \right)}}{3} = 2\)
Từ đó suy ra \(\sqrt[3]{{abc}} \le \dfrac{2}{{\sqrt[3]{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}}} \Rightarrow \dfrac{{abc}}{2} \le \dfrac{4}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\)
Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được:
\(3 = ab + bc + ca \ge 3\sqrt {{a^2}\;{b^2}{c^2}} \Leftrightarrow abc \le 1.\)
Do đó ta được \(\dfrac{1}{{abc}} + \dfrac{4}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge \dfrac{1}{{abc}} + \dfrac{{abc}}{2} \ge \dfrac{1}{{abc}} + abc - \dfrac{{abc}}{2} \ge 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com