Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + bc + ca = 3\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{abc}} +

Câu hỏi số 709374:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + bc + ca = 3\).

Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{abc}} + \dfrac{4}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge \dfrac{3}{2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:709374

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) để đánh giá VT của bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\sqrt[3]{{abc\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \dfrac{{a\left( {b + c} \right) + b\left( {c + a} \right) + c\left( {a + b} \right)}}{3} = 2\)

Từ đó suy ra \(\sqrt[3]{{abc}} \le \dfrac{2}{{\sqrt[3]{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}}} \Rightarrow \dfrac{{abc}}{2} \le \dfrac{4}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\)

Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được:

\(3 = ab + bc + ca \ge 3\sqrt {{a^2}\;{b^2}{c^2}} \Leftrightarrow abc \le 1.\)

Do đó ta được \(\dfrac{1}{{abc}} + \dfrac{4}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge \dfrac{1}{{abc}} + \dfrac{{abc}}{2} \ge \dfrac{1}{{abc}} + abc - \dfrac{{abc}}{2} \ge 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link