Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + bc + ca = 3\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{abc}} +

Câu hỏi số 709374:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(ab + bc + ca = 3\).

Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{abc}} + \dfrac{4}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge \dfrac{3}{2}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:709374

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) để đánh giá VT của bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\sqrt[3]{{abc\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \le \dfrac{{a\left( {b + c} \right) + b\left( {c + a} \right) + c\left( {a + b} \right)}}{3} = 2\)

Từ đó suy ra \(\sqrt[3]{{abc}} \le \dfrac{2}{{\sqrt[3]{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}}} \Rightarrow \dfrac{{abc}}{2} \le \dfrac{4}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\)

Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được:

\(3 = ab + bc + ca \ge 3\sqrt {{a^2}\;{b^2}{c^2}} \Leftrightarrow abc \le 1.\)

Do đó ta được \(\dfrac{1}{{abc}} + \dfrac{4}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge \dfrac{1}{{abc}} + \dfrac{{abc}}{2} \ge \dfrac{1}{{abc}} + abc - \dfrac{{abc}}{2} \ge 2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.