Cho hàm số \(y = {8^{\cot x}} + (m - 3){.2^{\cot x}} + 3m - 2\) (1) chọn những nhận định đúng

Câu hỏi số 710012:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {8^{\cot x}} + (m - 3){.2^{\cot x}} + 3m - 2\) (1) chọn những nhận định đúng trong các nhận định sau.

Đặt \({2^{\cot x}} = t\) hàm số trở thành \(y = {t^2} + (m - 3)t + 3m - 2\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left[ {\frac{\pi }{4};\pi } \right)\) khi \(m \le - 9\).

Để hàm số nghịch biến trên \(\left[ {\frac{\pi }{4};\pi } \right)\) khi \(m \le - 3\).

Hàm số nghịch biến trên \(\left[ {\frac{\pi }{4};\pi } \right)\) khi \(m \ge 3\).

Đáp án đúng là: B, D

Xem lời giải

Câu hỏi:710012

Phương pháp giải

Giải chi tiết

a) Đặt \({2^{\cot x}} = t\) vì \(x \in \left[ {\frac{\pi }{4};\pi } \right)\) nên \(0 < t \le 2\). Khi đó ta có hàm số: \(y = {t^3} + (m - 3)t + 3m - 2\) (2).

\( \Rightarrow \) A sai

\( \Rightarrow {y^\prime } = 3{t^2} + m - 3\).

b) Để hàm số (1) đồng biến trên \(\left[ {\frac{\pi }{4};\pi } \right)\) thì hàm số (2) phải nghịch biến trên \((0;2]\) hay \(3{t^2} + m - 3 \le 0,\forall t \in (0;2] \Leftrightarrow m \le 3 - 3{t^2},\forall t \in (0;2]\).

Xét hàm số: \(f(t) = 3 - 3{t^2},\forall t \in (0;2] \Rightarrow {f^\prime }(t) = - 6t\).

\({f^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow t = 0.\)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \( - 9 \le f(t) < 3,\forall t \in (0;2]\).

Vậy hàm số (1) đồng biến trên \(\left[ {\frac{\pi }{4};\pi } \right)\) khi \(m \le - 9\).

\( \Rightarrow \) B đúng.

c,d) Để hàm số (1) nghịch biến trên \(\left[ {\frac{\pi }{4};\pi } \right)\) thì hàm số (2) phải đồng biến trên \((0;2]\) hay \(3{t^2} + m - 3 \ge 0,\forall t \in (0;2] \Leftrightarrow m \ge 3 - 3{t^2},\forall t \in (0;2]\).

Vậy hàm số (1) nghịch biến trên \(\left[ {\frac{\pi }{4};\pi } \right)\) khi \(m \ge 3\).

\( \Rightarrow \) D đúng, C sai

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.