Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{2}\) và \(f'\left( x \right) = {\tan ^3}x

Câu hỏi số 710339:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{2}\) và \(f'\left( x \right) = {\tan ^3}x + \tan x,\forall x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\). Biết \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {x + 1} \right)f\left( x \right)} dx = a\pi \sqrt 3 + b\sqrt 3 + c\ln 3\), với \(a\), \(b,c\) là các số hữu tỉ, giá trị của \(a + b + c\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {\dfrac{2}{3};1} \right)\).

B. \(\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\).

C. \(\left( { - \dfrac{1}{3};0} \right)\).

D. \(\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:710339

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \\ = \int {\left( {{{\tan }^3}x + \tan x} \right){\rm{d}}x} \\ = \int {\tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right){\rm{d}}x} \\ = \int {\tan x{\rm{d}}\left( {\tan x} \right)} = \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{2} + C\end{array}\)

Khi \(x = 0\), ta có \(f\left( 0 \right) = \dfrac{{{{\tan }^2}0}}{2} + C \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{2}\).

Do đó \(f\left( x \right) = \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right) = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).

Theo đề bài \(I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {x + 1} \right)f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{1}{2}\left( {x + 1} \right)\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{2}\left( {x + 1} \right)\\{\rm{d}}v = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{1}{2}{\rm{d}}x\\v = \tan x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. {\left( {\dfrac{1}{2}\left( {x + 1} \right)\tan x} \right)} \right|_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}} - \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\dfrac{1}{2}\tan x{\rm{d}}x} \)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{\pi }{3} + 1} \right)\tan \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{\pi }{6} + 1} \right)\tan \dfrac{\pi }{6} + \left. {\left( {\dfrac{1}{2}\ln \left| {\cos x} \right|} \right)} \right|_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{3}}\)\( = \dfrac{\pi }{6}\sqrt 3 + \dfrac{1}{2}\sqrt 3 - \dfrac{\pi }{{36}}\sqrt 3 - \dfrac{1}{6}\sqrt 3 + \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( = \dfrac{5}{{36}}\pi \sqrt 3 + \dfrac{1}{3}\sqrt 3 - \dfrac{1}{4}\ln 3\).

Nên \(a = \dfrac{5}{{36}}\), \(b = \dfrac{1}{3}\) và \(c = - \dfrac{1}{4}\).

Khi đó \(a + b + c = \dfrac{2}{9} \in \left( {0;\dfrac{1}{3}} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.