Xét hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a,b,c,d \in R,a > 0)\) có hai điểm cure tri

Câu hỏi số 710340:

Vận dụng cao

Xét hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a,b,c,d \in R,a > 0)\) có hai điểm cure tri \({x_1},{x_2}\) (vơi \({x_1} < {x_2})\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 0\). Hình phẳng giới hạn bởi đường \(y = f'\left( x \right)f''\left( x \right)\) và trục hoành có diện tích bằng \(\dfrac{9}{{16}}\). Biết \(\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{2^x} + 1}}\;} dx = - \dfrac{5}{2}\), giá trị của \(\int\limits_0^{{x_2}} {\left( {x + 2} \right)f''\left( x \right)} dx\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { - \dfrac{9}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)\).

B. \(\left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).

C. \(\left( {\dfrac{7}{2};\dfrac{9}{2}} \right)\).

D. \(\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:710340

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x + {x_1}} \right) = a\left( {{x^2} - x_1^2} \right) \Rightarrow f'\left( 0 \right) < 0\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right)\) là hàm chẵn \( \Rightarrow f'\left( x \right) = f'\left( { - x} \right)\).

Ta có \(f''\left( x \right) = 6ax = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Xét \(f'\left( x \right)f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {x_2}\\x = - {x_2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f'\left( x \right)f''\left( x \right)} \right|} {\rm{d}}x = \dfrac{9}{{16}}\\ \Leftrightarrow \left| {\int\limits_{{x_1}}^0 {f'\left( x \right)f''\left( x \right)} {\rm{d}}x} \right| + \left| {\int\limits_0^{{x_2}} {f'\left( x \right)f''\left( x \right)} {\rm{d}}x} \right| = \dfrac{9}{{16}}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left| {\left. {\dfrac{1}{2}{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \right|_{{x_1}}^0} \right| + \left| {\left. {\dfrac{1}{2}{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \right|_0^{{x_2}}} \right| = \dfrac{9}{{16}}\)

\( \Leftrightarrow \left| {\dfrac{1}{2}{{\left[ {f'\left( 0 \right)} \right]}^2} - \dfrac{1}{2}{{\left[ {f'\left( {{x_1}} \right)} \right]}^2}} \right| + \left| {\dfrac{1}{2}{{\left[ {f'\left( {{x_2}} \right)} \right]}^2} - \dfrac{1}{2}{{\left[ {f'\left( 0 \right)} \right]}^2}} \right| = \dfrac{9}{{16}}\)

\( \Leftrightarrow \left| {{{\left[ {f'\left( 0 \right)} \right]}^2}} \right| = \dfrac{9}{{16}} \Leftrightarrow f'\left( 0 \right) = - \dfrac{3}{4}\).

Xét \(I = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{2^x} + 1}}{\rm{d}}x} = - \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \int\limits_{ - {x_2}}^{{x_2}} {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{2^x} + 1}}{\rm{d}}x} = - \dfrac{5}{2}\).

Đặt \(t = - x \Rightarrow {\rm{d}}t = - {\rm{d}}x\)

\(I = - \int\limits_{{x_2}}^{ - {x_2}} {\dfrac{{f'\left( { - t} \right)}}{{{2^{ - t}} + 1}}{\rm{d}}t} = \int\limits_{ - {x_2}}^{{x_2}} {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{2^{ - x}} + 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - {x_2}}^{{x_2}} {\dfrac{{{2^x}f'\left( x \right)}}{{{2^x} + 1}}{\rm{d}}x} \) (vì \(f'\left( x \right)\) là hàm chẵn)

\( \Rightarrow \int\limits_{ - {x_2}}^{{x_2}} {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{2^x} + 1}}{\rm{d}}x} + \int\limits_{ - {x_2}}^{{x_2}} {\dfrac{{{2^x}f'\left( x \right)}}{{{2^x} + 1}}{\rm{d}}x} = - 5 \Leftrightarrow \int\limits_0^{{x_2}} {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = - \dfrac{5}{2}\).

Xét \({I_1} = \int\limits_0^{{x_2}} {\left( {x + 2} \right)f''\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 2\\{\rm{d}}v = f''\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = {\rm{d}}v\\v = f'\left( x \right)\end{array} \right.\)

\({I_1} = \left. {\left( {x + 2} \right).f'\left( x \right)} \right|_0^{{x_2}} - \int\limits_0^{{x_2}} {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \)

\( = \left( {{x_2} + 2} \right).f'\left( {{x_2}} \right) - 2f'\left( 0 \right) - \left( { - \dfrac{5}{2}} \right) = - 2\left( {\dfrac{{ - 3}}{4}} \right) + \dfrac{5}{2} = 4\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.