Cho hàm số \(y = f(x)\) có \(f\left( e \right) = \dfrac{1}{5}\) và \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\ln

Câu hỏi số 711032:

Nhận biết

Cho hàm số \(y = f(x)\) có \(f\left( e \right) = \dfrac{1}{5}\) và \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\ln x\,\,;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(\int\limits_e^{{e^3}} {\dfrac{{f(x)}}{{{x^2}}}} dx = a.{e^{ - 3}} + b.{e^{ - 1}} + c\) với \(a,b,c\) là các số hữu tỷ giá trị của \(a - b + c\) thuộc khoảng nào dưới đây:

A. \(\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4}} \right)\).

B. \(\left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right)\).

C. \(\left( {\dfrac{3}{4};1} \right)\).

D. \(\left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:711032

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có:

\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\ln x\,\, \Rightarrow f(x) = \int {\dfrac{1}{3}\ln xdx = } \dfrac{1}{3}x\ln x - \dfrac{1}{3}\int {xd(\ln x) = } \dfrac{1}{3}x\ln x - \dfrac{1}{3}\int {x.\dfrac{1}{x}dx = } \dfrac{1}{3}x\ln x - \dfrac{1}{3}x + c\)Do \(f\left( e \right) = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \dfrac{1}{3}.e\ln e - \dfrac{1}{3}e + c = \dfrac{1}{5} \Rightarrow c = \dfrac{1}{5} \Rightarrow f(x) = \dfrac{1}{3}x\ln x - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{5}\)

Suy ra: \(f({e^3}) = \dfrac{1}{3}{e^3}\ln {e^3} - \dfrac{1}{3}{e^3} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{3}{e^3} + \dfrac{1}{5}\)

Ta có:

\(\int\limits_e^{{e^3}} {\dfrac{{f(x)}}{{{x^2}}}} dx = \int\limits_e^{{e^3}} {f(x)} d\left( {\dfrac{{ - 1}}{x}} \right) = \left. {\dfrac{{ - 1}}{x}f(x)} \right|_{{e^3}}^{{e^3}} - \int\limits_e^{{e^3}} {\dfrac{{ - 1}}{x}} df(x)\)

\( = \left. {\dfrac{{ - 1}}{x}f(x)} \right|_e^{{e^3}} + \int\limits_e^{{e^3}} {\dfrac{1}{x}} .f'(x)dx = \left. {\dfrac{{ - 1}}{x}f(x)} \right|_e^{{e^3}} + \int\limits_e^{{e^3}} {\dfrac{1}{x}} .\dfrac{1}{3}\ln xdx\)

\( = \left. {\dfrac{{ - 1}}{x}f(x)} \right|_e^{{e^3}} + \dfrac{1}{3}\int\limits_e^{{e^3}} {\ln xd\left( {\ln x} \right)} \)

\(\left. { = \dfrac{{ - 1}}{x}f(x)} \right|_e^{{e^3}} + \left. {\dfrac{1}{6}{{\ln }^2}x} \right|_e^{{e^3}} = \left. {\left( {\dfrac{{ - 1}}{x}f(x) + \dfrac{1}{6}{{\ln }^2}x} \right)} \right|_e^{{e^3}}\)

\( = \left( {\dfrac{{ - 1}}{{{e^3}}}f({e^3}) + \dfrac{1}{6}{{\ln }^2}{e^3}} \right) - \left( {\dfrac{{ - 1}}{e}f(e) + \dfrac{1}{6}{{\ln }^2}e} \right)\)

\( = \left[ {\dfrac{{ - 1}}{{{e^3}}}.\left( {\dfrac{2}{3}{e^3} + \dfrac{1}{5}} \right) + \dfrac{3}{2}} \right] - \left( {\dfrac{{ - 1}}{{5e}} + \dfrac{1}{6}} \right)\)

\(\, = \, - \dfrac{1}{{5{e^3}}} + \dfrac{1}{{5e}} + \dfrac{2}{3} = - \dfrac{1}{5}{e^{ - 3}} + \dfrac{1}{5}\,{e^{ - 1}}\, + \dfrac{2}{3}\,\,\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 1}}{5}\\b = \dfrac{1}{5}\\c = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow a - b + c = \dfrac{4}{{15}} \approx 0,266\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.