Cho hàm số \(y = f(x)\) có \(f\left( e \right) = \dfrac{1}{5}\) và \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\ln
Cho hàm số \(y = f(x)\) có \(f\left( e \right) = \dfrac{1}{5}\) và \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\ln x\,\,;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(\int\limits_e^{{e^3}} {\dfrac{{f(x)}}{{{x^2}}}} dx = a.{e^{ - 3}} + b.{e^{ - 1}} + c\) với \(a,b,c\) là các số hữu tỷ giá trị của \(a - b + c\) thuộc khoảng nào dưới đây:
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\ln x\,\, \Rightarrow f(x) = \int {\dfrac{1}{3}\ln xdx = } \dfrac{1}{3}x\ln x - \dfrac{1}{3}\int {xd(\ln x) = } \dfrac{1}{3}x\ln x - \dfrac{1}{3}\int {x.\dfrac{1}{x}dx = } \dfrac{1}{3}x\ln x - \dfrac{1}{3}x + c\)Do \(f\left( e \right) = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \dfrac{1}{3}.e\ln e - \dfrac{1}{3}e + c = \dfrac{1}{5} \Rightarrow c = \dfrac{1}{5} \Rightarrow f(x) = \dfrac{1}{3}x\ln x - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{5}\)
Suy ra: \(f({e^3}) = \dfrac{1}{3}{e^3}\ln {e^3} - \dfrac{1}{3}{e^3} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{3}{e^3} + \dfrac{1}{5}\)
Ta có:
\(\int\limits_e^{{e^3}} {\dfrac{{f(x)}}{{{x^2}}}} dx = \int\limits_e^{{e^3}} {f(x)} d\left( {\dfrac{{ - 1}}{x}} \right) = \left. {\dfrac{{ - 1}}{x}f(x)} \right|_{{e^3}}^{{e^3}} - \int\limits_e^{{e^3}} {\dfrac{{ - 1}}{x}} df(x)\)
\( = \left. {\dfrac{{ - 1}}{x}f(x)} \right|_e^{{e^3}} + \int\limits_e^{{e^3}} {\dfrac{1}{x}} .f'(x)dx = \left. {\dfrac{{ - 1}}{x}f(x)} \right|_e^{{e^3}} + \int\limits_e^{{e^3}} {\dfrac{1}{x}} .\dfrac{1}{3}\ln xdx\)
\( = \left. {\dfrac{{ - 1}}{x}f(x)} \right|_e^{{e^3}} + \dfrac{1}{3}\int\limits_e^{{e^3}} {\ln xd\left( {\ln x} \right)} \)
\(\left. { = \dfrac{{ - 1}}{x}f(x)} \right|_e^{{e^3}} + \left. {\dfrac{1}{6}{{\ln }^2}x} \right|_e^{{e^3}} = \left. {\left( {\dfrac{{ - 1}}{x}f(x) + \dfrac{1}{6}{{\ln }^2}x} \right)} \right|_e^{{e^3}}\)
\( = \left( {\dfrac{{ - 1}}{{{e^3}}}f({e^3}) + \dfrac{1}{6}{{\ln }^2}{e^3}} \right) - \left( {\dfrac{{ - 1}}{e}f(e) + \dfrac{1}{6}{{\ln }^2}e} \right)\)
\( = \left[ {\dfrac{{ - 1}}{{{e^3}}}.\left( {\dfrac{2}{3}{e^3} + \dfrac{1}{5}} \right) + \dfrac{3}{2}} \right] - \left( {\dfrac{{ - 1}}{{5e}} + \dfrac{1}{6}} \right)\)
\(\, = \, - \dfrac{1}{{5{e^3}}} + \dfrac{1}{{5e}} + \dfrac{2}{3} = - \dfrac{1}{5}{e^{ - 3}} + \dfrac{1}{5}\,{e^{ - 1}}\, + \dfrac{2}{3}\,\,\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 1}}{5}\\b = \dfrac{1}{5}\\c = \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow a - b + c = \dfrac{4}{{15}} \approx 0,266\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com