Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H.\) Biết
Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H.\) Biết \(\dfrac{{HD}}{{HA}} = \dfrac{3}{2}\). Tính \(\tan \angle {ABC}.\tan \angle {ACB}\).
Áp dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
Xét tam giác vuông \(ABD\) và \(ADC\), ta có \({\rm{tan}}B = \dfrac{{AD}}{{BD}};{\rm{tan}}C = \dfrac{{AD}}{{CD}}\).
Suy ra \({\rm{tan}}B . {\rm{tan}}C = \dfrac{{A{D^2}}}{{BD . CD}}\)
Lại có \(\angle {HBD} = \angle {CAD}\) (cùng phụ với \(\angle {ACB}\) ) và \(\angle {HDB} = \angle {ADC} = {90^ \circ }\).
Do đó \(\Delta BDH\)~ \(\Delta ADC\) (g.g) suy ra \(\dfrac{{DH}}{{DC}} = \dfrac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(BD . DC = DH.AD\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \({\rm{tan}}B . {\rm{tan}}C = \dfrac{{A{D^2}}}{{DH . AD}} = \dfrac{{AD}}{{DH}}\) (3)
Theo giả thiết \(\dfrac{{HD}}{{AH}} = \dfrac{3}{2}\) suy ra \(\dfrac{{HD}}{{AH + HD}} = \dfrac{3}{{2 + 3}}\) hay \(\dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{3}{5}\), suy ra \(AD = \dfrac{5}{3}HD\).
Thay vào (3) ta được: \({\rm{tan}}B . {\rm{tan}}C = \dfrac{{\dfrac{5}{3}HD}}{{DH}} = \dfrac{5}{3}\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com