Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H.\) Biết
Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H.\) Biết \(\dfrac{{HD}}{{HA}} = \dfrac{3}{2}\). Tính \(\tan \angle {ABC}.\tan \angle {ACB}\).
Quảng cáo
Áp dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
Xét tam giác vuông \(ABD\) và \(ADC\), ta có \({\rm{tan}}B = \dfrac{{AD}}{{BD}};{\rm{tan}}C = \dfrac{{AD}}{{CD}}\).
Suy ra \({\rm{tan}}B . {\rm{tan}}C = \dfrac{{A{D^2}}}{{BD . CD}}\)
Lại có \(\angle {HBD} = \angle {CAD}\) (cùng phụ với \(\angle {ACB}\) ) và \(\angle {HDB} = \angle {ADC} = {90^ \circ }\).
Do đó \(\Delta BDH\)~ \(\Delta ADC\) (g.g) suy ra \(\dfrac{{DH}}{{DC}} = \dfrac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(BD . DC = DH.AD\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \({\rm{tan}}B . {\rm{tan}}C = \dfrac{{A{D^2}}}{{DH . AD}} = \dfrac{{AD}}{{DH}}\) (3)
Theo giả thiết \(\dfrac{{HD}}{{AH}} = \dfrac{3}{2}\) suy ra \(\dfrac{{HD}}{{AH + HD}} = \dfrac{3}{{2 + 3}}\) hay \(\dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{3}{5}\), suy ra \(AD = \dfrac{5}{3}HD\).
Thay vào (3) ta được: \({\rm{tan}}B . {\rm{tan}}C = \dfrac{{\dfrac{5}{3}HD}}{{DH}} = \dfrac{5}{3}\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
