Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Mệnh đề nào sau đây sai?

Câu hỏi số 715192:

Thông hiểu

A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\).

B. \(AB \bot CD\) hay \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\).

C. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \vec 0\).

D. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \).

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:715192

Giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = |\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |\cos (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ) = a.a.\cos {60^\circ } = \dfrac{{{a^2}}}{2}\).

Gọi \(M\) là trung điểm CD và \(O\) là trọng tâm tam giác BCD.

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AO \bot CD}\\{BM \bot CD}\end{array} \Rightarrow CD \bot AB} \right.\) hay \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = 0\).

Theo quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \vec 0\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = |\overrightarrow {AC} |.|\overrightarrow {AD} |.\cos (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ) = a.a.\cos {{60}^\circ } = \dfrac{{{a^2}}}{2}}\\{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} = - (\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} ) = - |\overrightarrow {CA} |.|\overrightarrow {CD} |.\cos (\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} ) = - a.a.\cos {{60}^\circ } = - \dfrac{{{a^2}}}{2}}\end{array}} \right.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.