Cho hình chóp \(S.ABCD\), trong đó \(ABCD\) là một hình thang với đáy \(AB\) và \(CD\). Gọi \(I\) và

Câu hỏi số 719979:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\), trong đó \(ABCD\) là một hình thang với đáy \(AB\) và \(CD\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC,G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB\).

Giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((GIJ)\). Biết \(d\) cắt \(SA\) tại \(M\) và cắt \(SB\) tại \(N\). Tứ giác\(MNJI\) là hình bình hành thì \(AB = kCD\). Khi đó \(k = ?\)

Phương pháp giải

- Tìm giao tuyến \(d\) của \((SAB)\) và \((GIJ)\)

- Tìm điều kiện của \(AB\) và \(CD\) để \(MNJI\) là hình bình hành

Giải chi tiết

Dễ thấy \(G \in (SAB) \cap (GIJ) \Rightarrow G \in d\) với \(d = (SAB) \cap (GIJ)\).

\(IJ\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(IJ{\rm{//}}AB\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d = (SAB) \cap (GIJ)}\\{AB{\rm{//}}IJ}\\{AB \subset (SAB),IJ \subset (GIJ)}\end{array} \Rightarrow d{\rm{//}}AB{\rm{//}}IJ} \right.\)

Vậy giao tuyến \(d\) của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((GIJ)\) là đường thẳng \(d\) qua \(G\) và song song với đường thẳng \(AB\).

Gọi \(E\) là trung điểm \(AB\).

Ta có:

\(MN//IJ;MNJI\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(MN = IJ\). (1)

Vì \(MG//AE \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{{SG}}{{SE}} = \dfrac{2}{3}\) (\(G\) là trọng tâm của tam giác \(\left. {SAB} \right)\).

Vì \(MN//AB \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MN = \dfrac{2}{3}AB\). (2)

Vì \(IJ\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(IJ = \dfrac{{AB + CD}}{2}\). (3)

Từ (1), (2), (3), ta có:

\(\dfrac{2}{3}AB = \dfrac{{AB + CD}}{2} \Leftrightarrow 4AB = 3AB + 3CD \Leftrightarrow AB = 3CD\).

Vậy với hình chóp ban đầu có \(AB = 3CD\) thì \(MNJI\) là hình bình hành.

Xem lời giải

Câu hỏi:719979

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.